|5*x-2|<8 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{5 x - 2}\right| < 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{5 x - 2}\right| = 8$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$5 x - 2 \geq 0$$
или
$$\frac{2}{5} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$\left(5 x - 2\right) - 8 = 0$$
упрощаем, получаем
$$5 x - 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 2$$

2.
$$5 x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < \frac{2}{5}$$
получаем уравнение
$$\left(- 5 x + 2\right) - 8 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 5 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - \frac{6}{5}$$


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{6}{5}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{6}{5}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{6}{5}$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{6}{5} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{5 x - 2}\right| < 8$$
$$\left|{5 \left(- \frac{13}{10}\right) - 2}\right| < 8$$

17/2 < 8

но

17/2 > 8

Тогда
$$x < - \frac{6}{5}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{6}{5} \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1