log(x+1)<=2 неравенство

Дано неравенство:
$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$1 x + 1 = e^{\frac{2}{1}}$$
упрощаем
$$x + 1 = e^{2}$$
$$x = -1 + e^{2}$$
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \left(- e^{2} + 1\right)$$
=
$$- \frac{11}{10} + e^{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$
$$\log{\left(1 - \left(- e^{2} + \frac{11}{10}\right) \right)} \leq 2$$

   /  1     2\     
log|- -- + e | <= 2
   \  10     /     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -1 + e^{2}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1