9^x-4*3^x+3<=0 неравенство

Дано неравенство:
$$- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 3 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 3 = 0$$
или
$$\left(- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v + 3 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 3 + \left(-4\right)^{2} = 4$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 3 \leq 0$$
$$- 4 \cdot 3^{\frac{9}{10}} + 3 + 9^{\frac{9}{10}} \leq 0$$

       9/10      4/5     
3 - 4*3     + 3*3    <= 0
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 3$$