Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(x^3+3*x^2-2)/(x^3)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • -3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2 -3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
  • 1/6*x^3-12*x 1/6*x^3-12*x
  • sqrt(8-x) sqrt(8-x)
  • x^2/(x-2) x^2/(x-2)

  • Идентичные выражения

  • (x^ три + три *x^ два - два)/(x^ три)
  • (x в кубе плюс 3 умножить на x в квадрате минус 2) делить на (x в кубе )
  • (x в степени три плюс три умножить на x в степени два минус два) делить на (x в степени три)
  • (x3+3*x2-2)/(x3)
  • x3+3*x2-2/x3
  • (x³+3*x²-2)/(x³)
  • (x в степени 3+3*x в степени 2-2)/(x в степени 3)
  • (x^3+3x^2-2)/(x^3)
  • (x3+3x2-2)/(x3)
  • x3+3x2-2/x3
  • x^3+3x^2-2/x^3
  • (x^3+3*x^2-2) разделить на (x^3)

  • Похожие выражения

  • (x^3-3*x^2-2)/(x^3)
  • (x^3+3*x^2+2)/(x^3)
Построение графика функции/ (x^3+3*x^2-2)/(x^3)

График функции y = (x^3+3*x^2-2)/(x^3)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        3      2    
       x  + 3*x  - 2
f(x) = -------------
              3     
             x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}}$$ 
f = (x^3 + 3*x^2 - 1*2)/(x^3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0.732050807568877$$
$$x_{3} = -2.73205080756888$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда $x$ равняется 0:
подставляем $x = 0$ в $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}}$.
$$\frac{\left(-1\right) 2 + 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}}{0^{3}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн. $f{\left(x \right)}$ не пересекает Y
Экстремумы функции

Step


Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 x^{2} + 6 x}{x^{3}} - \frac{3 \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2\right)}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
$$\Bigl(- \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2} \left(- 2 \sqrt{2} - 2 + 6\right)}{4}\Bigl)$$
$$\Bigl(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2} \left(-2 + 2 \sqrt{2} + 6\right)}{4}\Bigl)$$

Step


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках:
$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$
Возрастает на промежутках:
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов

Step


Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \left(- 2 x - 5 + \frac{2 \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2\right)}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(- 2 x - 5 + \frac{2 \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2\right)}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(- 2 x - 5 + \frac{2 \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2\right)}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Step


Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + 3*x^2 - 1*2)/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}} = - \frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}} = \frac{- x^{3} + 3 x^{2} - 2}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x^3+3*x^2-2)/(x^3)
    © Господин Экзамен – Калькулятор