Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3+16)/x
- sqrt(x)^2-1
-
sqrt(3)/2*x-sin(x)
- sin(x)+(1/2)*sin(2*x)+(1/3)*sin(3*x)
- Разложить многочлен на множители:
- x^3-x^4
- Производная:
-
x^3-x^4
-
Идентичные выражения
- x^ три -x^ четыре
- x в кубе минус x в степени 4
- x в степени три минус x в степени четыре
- x3-x4
- x³-x⁴
- x в степени 3-x в степени 4
-
Похожие выражения
- (x^3)-(x^4)/4
- x^3+x^4
График функции y = x^3-x^4
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{4} + x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$- x^{4} + x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Экстремумы функции
Step
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
$$\Bigl(0, 0\Bigl)$$
$$\Bigl(\frac{3}{4}, \frac{27}{256}\Bigl)$$
Step
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Убывает на промежутках:
$$\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках:
$$\left[\frac{3}{4}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Step
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 x \left(- 2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Step
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \frac{1}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + x^{3}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + x^{3}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{4} + x^{3} = - x^{4} - x^{3}$$
- Нет
$$- x^{4} + x^{3} = x^{4} + x^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- x^{4} + x^{3} = - x^{4} - x^{3}$$
- Нет
$$- x^{4} + x^{3} = x^{4} + x^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График