Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3)+1
-
x-4+(|x-2|)
-
sqrt(tan(pi*x))
-
sqrt(4*x+8)
- Производная:
-
(x^3-8)/(x^2-9)
-
Идентичные выражения
- (x^ три - восемь)/(x^ два - девять)
- (x в кубе минус 8) делить на (x в квадрате минус 9)
- (x в степени три минус восемь) делить на (x в степени два минус девять)
- (x3-8)/(x2-9)
- x3-8/x2-9
- (x³-8)/(x²-9)
- (x в степени 3-8)/(x в степени 2-9)
- x^3-8/x^2-9
- (x^3-8) разделить на (x^2-9)
-
Похожие выражения
- (x^3+8)/(x^2-9)
- (x^3-8)/(x^2+9)
График функции y = (x^3-8)/(x^2-9)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x - 8
f(x) = ------
2
x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9}$$
f = (x^3 - 1*8)/(x^2 - 1*9)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 9} - \frac{2 x \left(x^{3} - 8\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{216 + 27 \sqrt{665} i}}{3} - \frac{27}{\sqrt[3]{216 + 27 \sqrt{665} i}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)}, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 9} - \frac{2 x \left(x^{3} - 8\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{216 + 27 \sqrt{665} i}}{3} - \frac{27}{\sqrt[3]{216 + 27 \sqrt{665} i}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 8/9)
3
/ ____________________ \
| 3 / _____ |
| \/ 216 + 27*\/ 665 *I 27 |
-8 + |- ----------------------- - -----------------------|
____________________ | 3 ____________________|
3 / _____ | 3 / _____ |
\/ 216 + 27*\/ 665 *I 27 \ \/ 216 + 27*\/ 665 *I /
(- ----------------------- - -----------------------, -----------------------------------------------------------)
3 ____________________ 2
3 / _____ / ____________________ \
\/ 216 + 27*\/ 665 *I | 3 / _____ |
| \/ 216 + 27*\/ 665 *I 27 |
-9 + |- ----------------------- - -----------------------|
| 3 ____________________|
| 3 / _____ |
\ \/ 216 + 27*\/ 665 *I / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)}, 0\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{23275}}{9} + \frac{8}{9} + \frac{\sqrt[3]{12635}}{9}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{23275}}{9} + \frac{8}{9} + \frac{\sqrt[3]{12635}}{9}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{23275}}{9} + \frac{8}{9} + \frac{\sqrt[3]{12635}}{9}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{23275}}{9} + \frac{8}{9} + \frac{\sqrt[3]{12635}}{9}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} - 9} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 8\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{23275}}{9} + \frac{8}{9} + \frac{\sqrt[3]{12635}}{9}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{23275}}{9} + \frac{8}{9} + \frac{\sqrt[3]{12635}}{9}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 1*8)/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9} = \frac{- x^{3} - 8}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9} = - \frac{- x^{3} - 8}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9} = \frac{- x^{3} - 8}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 9} = - \frac{- x^{3} - 8}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График