Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- (|x^3-4|)
- Производная:
-
x^3/(x^2+1)
- Интеграл d{x}:
-
x^3/(x^2+1)
-
Идентичные выражения
- x^ три /(x^ два + один)
- x в кубе делить на (x в квадрате плюс 1)
- x в степени три делить на (x в степени два плюс один)
- x3/(x2+1)
- x3/x2+1
- x³/(x²+1)
- x в степени 3/(x в степени 2+1)
- x^3/x^2+1
- x^3 разделить на (x^2+1)
-
Похожие выражения
- (x^3)/(x^2+12)
- x^3/(x^2-1)
- x^3/(x^2+12)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(x^2 + 1)
- x^3/(x^2) + 1
- x^3*2/x + 1
- x^3/(x^2) + 1
- x*3/(x^2 + 1)
- x*3/x^2 + 1
- x^3/(x^2) + 1
Вы ввели:
x^3/(x^2+1)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/(x^2+1)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = ------
2
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$$
f = x^3/(x^2 + 1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.82302943417171 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 2.14479974082608 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 1.04801503223843 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -1.02108741363413 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 5.44079881677896 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -2.30363110998701 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 1.91031493705249 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 1.72182108347165 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -1.08479222671982 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 2.62730053577971 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = 2.4442525096723 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 4.18056809488024 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -4.24254360793567 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -6.52035780594423 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -2.16136620480475 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 1.81120348142919 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -1.38759255189367 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -2.0355367145038 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 1.08057914349066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 2.83958362990584 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 1.2792419854655 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = 1.49960868705043 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 3.74168472499833 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -1.44517301387752 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 6.38134740455177 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = -9.75799610408026 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 1.01735296660338 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 1.15216660386808 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -2.86852186747036 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 9.48384349782257 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = -1.05197800083022 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -1.11971516791123 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = -1.57590400449121 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -3.79156715602553 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -1.65051750925682 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = 1.43771634769237 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 2.28484098892135 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -5.5438339620414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = 1.1916305932084 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -4.81032132795464 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = -2.46574071550715 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = -1.33441175704062 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = -3.1227648263298 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 1.23388691946831 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -3.4254732154174 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = -1.19675404672704 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -1.15695637509214 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = -1.73251084247554 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 3.38452582054712 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 1.11522757430335 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 1.32804858730031 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 1.56704706900453 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 2.02082379488708 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = 1.64080841111852 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = -1.28514625659341 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = -2.65210452919428 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = 3.08858626490582 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -1.9234671022155 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = -1.50772053040149 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -7.86344310015707 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = 7.66976463215026 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 4.73150341094577 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = -1.23938008469773 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = 1.38071501082113 \cdot 10^{-5}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.82302943417171 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 2.14479974082608 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 1.04801503223843 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -1.02108741363413 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 5.44079881677896 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -2.30363110998701 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 1.91031493705249 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 1.72182108347165 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -1.08479222671982 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 2.62730053577971 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = 2.4442525096723 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 4.18056809488024 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -4.24254360793567 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -6.52035780594423 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -2.16136620480475 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 1.81120348142919 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -1.38759255189367 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -2.0355367145038 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 1.08057914349066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 2.83958362990584 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 1.2792419854655 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = 1.49960868705043 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 3.74168472499833 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -1.44517301387752 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 6.38134740455177 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = -9.75799610408026 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 1.01735296660338 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 1.15216660386808 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -2.86852186747036 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 9.48384349782257 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = -1.05197800083022 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -1.11971516791123 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = -1.57590400449121 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -3.79156715602553 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -1.65051750925682 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = 1.43771634769237 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 2.28484098892135 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -5.5438339620414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = 1.1916305932084 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -4.81032132795464 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = -2.46574071550715 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = -1.33441175704062 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = -3.1227648263298 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 1.23388691946831 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -3.4254732154174 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = -1.19675404672704 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -1.15695637509214 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = -1.73251084247554 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 3.38452582054712 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 1.11522757430335 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 1.32804858730031 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 1.56704706900453 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 2.02082379488708 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = 1.64080841111852 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = -1.28514625659341 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = -2.65210452919428 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = 3.08858626490582 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -1.9234671022155 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = -1.50772053040149 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -7.86344310015707 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = 7.66976463215026 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 4.73150341094577 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = -1.23938008469773 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = 1.38071501082113 \cdot 10^{-5}$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} + 3\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} + 3\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График