Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^2*log(x)/2

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (x^3+16)/x
  • (x^3-27*x+54)/(x^3)
  • sqrt(x)^2-1
  • sqrt(3)/2*x-sin(x) sqrt(3)/2*x-sin(x)
  • Производная:
  • x^2*log(x)/2

  • Идентичные выражения

  • x^ два *log(x)/ два
  • x в квадрате умножить на логарифм от (x) делить на 2
  • x в степени два умножить на логарифм от (x) делить на два
  • x2*log(x)/2
  • x2*logx/2
  • x²*log(x)/2
  • x в степени 2*log(x)/2
  • x^2log(x)/2
  • x2log(x)/2
  • x2logx/2
  • x^2logx/2
  • x^2*log(x) разделить на 2
Построение графика функции/ x^2*log(x)/2

График функции y = x^2*log(x)/2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        2       
       x *log(x)
f(x) = ---------
           2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2}$$ 
f = x^2*log(x)/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*log(x)/2.
$$\frac{0^{2} \log{\left(0 \right)}}{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у уравнения нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x \log{\left(x \right)} + \frac{x}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
          -1  
  -1/2  -e    
(e   , -----)
          4


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{- \frac{1}{2}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{- \frac{1}{2}}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\log{\left(x \right)} + \frac{3}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{- \frac{3}{2}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{- \frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{- \frac{3}{2}}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*log(x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} = \frac{x^{2} \log{\left(- x \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} = - \frac{x^{2} \log{\left(- x \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^2*log(x)/2
    © Господин Экзамен – Калькулятор