Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(|x-3|)/(x-3)
-
x^2+9/x
-
2*x^2+8*x+3
-
sqrt(25-x^2)
- Производная:
-
x^2+9/x
-
Идентичные выражения
- x^ два + девять /x
- x в квадрате плюс 9 делить на x
- x в степени два плюс девять делить на x
- x2+9/x
- x²+9/x
- x в степени 2+9/x
- x^2+9 разделить на x
-
Похожие выражения
- (x^2+9)/(x-18)
- x^2-9/x
- (x^2+9)/(x^2-9)
- (x^2+9)/(x-3)
- (x^2+9)/x
- (x^2+9)/(x+4)
-
Что Вы имели ввиду?
- (x^2 + 9)/x
- x*(2 + 9)/x
- x^(2 + 9)/x
- x^2 + 9/x
- x^2 + 9/x
Вы ввели:
x^2+9/x
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^2+9/x
Решение
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + \frac{9}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.0800838230519$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + \frac{9}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.0800838230519$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x - \frac{9}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x - \frac{9}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
2/3 3 ___ 6 9*\/ 6 (----, -------) 2 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(1 + \frac{9}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(1 + \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(1 + \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(1 + \frac{9}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(1 + \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(1 + \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 + 9/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{9}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{9}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{9}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{9}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} + \frac{9}{x} = x^{2} - \frac{9}{x}$$
- Нет
$$x^{2} + \frac{9}{x} = - x^{2} + \frac{9}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{2} + \frac{9}{x} = x^{2} - \frac{9}{x}$$
- Нет
$$x^{2} + \frac{9}{x} = - x^{2} + \frac{9}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График