Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- |x-3|
-
(-x)*e^(-1/x^2)
-
2*x^4-4*x^2+1
- x^4-4/3*x^3-4*x^2+26/3
- Производная:
- (x^2-6*x+9)/((x-1)^2)
-
Идентичные выражения
- (x^ два - шесть *x+ девять)/((x- один)^ два)
- (x в квадрате минус 6 умножить на x плюс 9) делить на ((x минус 1) в квадрате )
- (x в степени два минус шесть умножить на x плюс девять) делить на ((x минус один) в степени два)
- (x2-6*x+9)/((x-1)2)
- x2-6*x+9/x-12
- (x²-6*x+9)/((x-1)²)
- (x в степени 2-6*x+9)/((x-1) в степени 2)
- (x^2-6x+9)/((x-1)^2)
- (x2-6x+9)/((x-1)2)
- x2-6x+9/x-12
- x^2-6x+9/x-1^2
- (x^2-6*x+9) разделить на ((x-1)^2)
-
Похожие выражения
- x^2-6*x+9/(x-1)^2
- (x^2+6*x+9)/((x-1)^2)
- (x^2-6*x+9)/((x+1)^2)
- (x^2-6*x-9)/((x-1)^2)
График функции y = (x^2-6*x+9)/((x-1)^2)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 6*x + 9
f(x) = ------------
2
(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
f = (x^2 - 6*x + 9)/((x - 1*1)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.9999989586646$$
$$x_{2} = 3.00000018340739$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.9999989586646$$
$$x_{2} = 3.00000018340739$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x - 6}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x - 6}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(3, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{x - 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{x - 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{x - 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{x - 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{x - 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{x - 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 6*x + 9)/((x - 1*1)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График