Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
- Интеграл d{x}:
- (x^2-1)/x^2
- Производная:
-
(x^2-1)/x^2
-
Идентичные выражения
- (x^ два - один)/x^ два
- (x в квадрате минус 1) делить на x в квадрате
- (x в степени два минус один) делить на x в степени два
- (x2-1)/x2
- x2-1/x2
- (x²-1)/x²
- (x в степени 2-1)/x в степени 2
- x^2-1/x^2
- (x^2-1) разделить на x^2
-
Похожие выражения
- (x^2-1)/(x^2+2)
- -2*x^3+x^2-1/x^2-1
- (x^2-1)/(x^2+9)
- sqrt((x^2-1)/(x^2+1))
- (x^2+1)/x^2
- log((x^2-1)/(x^2+4))
-
Что Вы имели ввиду?
- (x^2 - 1*1)/(x^2)
- (x^2 - 1*1)*2/x
- (x^2 - 1*1)/(x^2)
- x*(2 - 1*1)/(x^2)
- x*(2 - 1*1)*2/x
- x*(2 - 1*1)/(x^2)
- x^2 - 1/(x^2)
Вы ввели:
(x^2-1)/x^2
Что Вы имели ввиду?
График функции y = (x^2-1)/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 1
f(x) = ------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$$
f = (x^2 - 1*1)/(x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \left(-1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \left(-1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*1)/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = - \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График