Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3-5*x^2+3*x-5
-
3*cos(2*x)
-
x^3-6*x^2+9*x+5
-
x^4-6*x^2+5*x
- Производная:
-
x^4-6*x^2+5*x
-
Идентичные выражения
- x^ четыре - шесть *x^ два + пять *x
- x в степени 4 минус 6 умножить на x в квадрате плюс 5 умножить на x
- x в степени четыре минус шесть умножить на x в степени два плюс пять умножить на x
- x4-6*x2+5*x
- x⁴-6*x²+5*x
- x в степени 4-6*x в степени 2+5*x
- x^4-6x^2+5x
- x4-6x2+5x
-
Похожие выражения
- x^4+6*x^2+5*x
- x^4-6*x^2-5*x
График функции y = x^4-6*x^2+5*x
Решение
Вы ввели
[src]
4 2 f(x) = x - 6*x + 5*x
$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 6 x^{2} + 5 x$$
f = x^4 - 6*x^2 + 5*x
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 6 x^{2} + 5 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.79128784747792$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.79128784747792$$
$$x_{4} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 6 x^{2} + 5 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.79128784747792$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.79128784747792$$
$$x_{4} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 12 x + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{135}{8} + \frac{27 \sqrt{39} i}{8}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{135}{8} + \frac{27 \sqrt{39} i}{8}}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{39}}{5} \right)}}{3} \right)}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{39}}{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{39}}{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 12 x + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{135}{8} + \frac{27 \sqrt{39} i}{8}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{135}{8} + \frac{27 \sqrt{39} i}{8}}}$$
Зн. экстремумы в точках:
4 2
___________________ ___________________ / ___________________ \ / ___________________ \
/ ____ / ____ | / ____ | | / ____ |
/ 135 27*\/ 39 *I / 135 27*\/ 39 *I | / 135 27*\/ 39 *I | | / 135 27*\/ 39 *I |
3 / --- + ----------- 5*3 / --- + ----------- | 3 / --- + ----------- | | 3 / --- + ----------- |
\/ 8 8 3 \/ 8 8 | \/ 8 8 3 | | \/ 8 8 3 | 15
(- ------------------------ - ------------------------, - -------------------------- + |- ------------------------ - ------------------------| - 6*|- ------------------------ - ------------------------| - ------------------------)
3 ___________________ 3 | 3 ___________________| | 3 ___________________| ___________________
/ ____ | / ____ | | / ____ | / ____
/ 135 27*\/ 39 *I | / 135 27*\/ 39 *I | | / 135 27*\/ 39 *I | / 135 27*\/ 39 *I
3 / --- + ----------- | 3 / --- + ----------- | | 3 / --- + ----------- | 3 / --- + -----------
\/ 8 8 \ \/ 8 8 / \ \/ 8 8 / \/ 8 8 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{39}}{5} \right)}}{3} \right)}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{39}}{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{39}}{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 6 x^{2} + 5 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 6 x^{2} + 5 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 6 x^{2} + 5 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 6 x^{2} + 5 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 6*x^2 + 5*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 5 x}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 5 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 5 x}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 5 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 6 x^{2} + 5 x = x^{4} - 6 x^{2} - 5 x$$
- Нет
$$x^{4} - 6 x^{2} + 5 x = - x^{4} + 6 x^{2} + 5 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 6 x^{2} + 5 x = x^{4} - 6 x^{2} - 5 x$$
- Нет
$$x^{4} - 6 x^{2} + 5 x = - x^{4} + 6 x^{2} + 5 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График