Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4-5*x^2-36
-
1/(x^2+2*x-8)
-
5/x
-
(9*x+1)/(9*x^2+x)
-
Идентичные выражения
- x^ четыре - пять *x^ два - тридцать шесть
- x в степени 4 минус 5 умножить на x в квадрате минус 36
- x в степени четыре минус пять умножить на x в степени два минус тридцать шесть
- x4-5*x2-36
- x⁴-5*x²-36
- x в степени 4-5*x в степени 2-36
- x^4-5x^2-36
- x4-5x2-36
-
Похожие выражения
- x^4+5*x^2-36
- x^4-5*x^2+36
График функции y = x^4-5*x^2-36
Решение
Вы ввели
[src]
4 2 f(x) = x - 5*x - 36
$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 5 x^{2} - 36$$
f = x^4 - 5*x^2 - 1*36
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 10 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{10}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 10 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1*36)
____
-\/ 10
(--------, -36 - 25/4)
2 ____ \/ 10 (------, -36 - 25/4) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{10}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(6 x^{2} - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(6 x^{2} - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 5 x^{2} - 36\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 5 x^{2} - 36\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 5 x^{2} - 36\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 5 x^{2} - 36\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 5*x^2 - 1*36, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x^{2} - 36}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x^{2} - 36}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x^{2} - 36}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x^{2} - 36}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = x^{4} - 5 x^{2} - 36$$
- Да
$$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = - x^{4} + 5 x^{2} + 36$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = x^{4} - 5 x^{2} - 36$$
- Да
$$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = - x^{4} + 5 x^{2} + 36$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График