Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4/(x^3+1)
- x^3/3+x^2-15*x
- -2/(x+3)
-
x-20
- Интеграл d{x}:
-
x^4/(x^3+1)
- Производная:
-
x^4/(x^3+1)
-
Идентичные выражения
- x^ четыре /(x^ три + один)
- x в степени 4 делить на (x в кубе плюс 1)
- x в степени четыре делить на (x в степени три плюс один)
- x4/(x3+1)
- x4/x3+1
- x⁴/(x³+1)
- x в степени 4/(x в степени 3+1)
- x^4/x^3+1
- x^4 разделить на (x^3+1)
-
Похожие выражения
- (x^4)/(x^3+1)
- (x^4)/(x^(3)+1)
- x^4/(x^3-1)
- ((x^4))/((x^3)+1)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^4/(x^3 + 1)
- x^4/(x^3) + 1
- x^4*3/x + 1
- x^4/(x^3) + 1
- x*4/(x^3 + 1)
- x*4/x^3 + 1
- x^4/(x^3) + 1
Вы ввели:
x^4/(x^3+1)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^4/(x^3+1)
Решение
Вы ввели
[src]
4
x
f(x) = ------
3
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{x^{3} + 1}$$
f = x^4/(x^3 + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.05372151454145 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 0.000311887800081115$$
$$x_{3} = 2.20551621316861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.57605213246588 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 4.19060297797662 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 3.30421877678491 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.000584856881297876$$
$$x_{9} = 2.67211017064232 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 1.35793257546865 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0.000108665328693537$$
$$x_{12} = 3.20927921480134 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 1.81207501065121 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 1.18215505766533 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 1.1622703705051 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 1.02207802172052 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 1.85129667254771 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 1.54532747806439 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 2.15433225645804 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 7.16100360697148 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 1.03842759779315 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0.000158682475312598$$
$$x_{23} = 2.60352297019773 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 0.000276496240741158$$
$$x_{25} = 0.000748501815146956$$
$$x_{26} = 5.28070755576201 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = 5.48874388467285 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 0.000102538997693811$$
$$x_{29} = 1.3334116180701 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 0.000171586788883364$$
$$x_{31} = 7.50044636060975 \cdot 10^{-5}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.05372151454145 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 0.000311887800081115$$
$$x_{3} = 2.20551621316861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.57605213246588 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 4.19060297797662 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 3.30421877678491 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.000584856881297876$$
$$x_{9} = 2.67211017064232 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 1.35793257546865 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0.000108665328693537$$
$$x_{12} = 3.20927921480134 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 1.81207501065121 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 1.18215505766533 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 1.1622703705051 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 1.02207802172052 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 1.85129667254771 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 1.54532747806439 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 2.15433225645804 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 7.16100360697148 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 1.03842759779315 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0.000158682475312598$$
$$x_{23} = 2.60352297019773 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 0.000276496240741158$$
$$x_{25} = 0.000748501815146956$$
$$x_{26} = 5.28070755576201 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = 5.48874388467285 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 0.000102538997693811$$
$$x_{29} = 1.3334116180701 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 0.000171586788883364$$
$$x_{31} = 7.50044636060975 \cdot 10^{-5}$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}}, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
2/3
2/3 -4*2
(-2 , --------)
3 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}}, 0\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)}{x^{3} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)}{x^{3} + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)}{x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)}{x^{3} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)}{x^{3} + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/(x^3 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} + 1} = \frac{x^{4}}{- x^{3} + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{x^{3} + 1} = - \frac{x^{4}}{- x^{3} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} + 1} = \frac{x^{4}}{- x^{3} + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{x^{3} + 1} = - \frac{x^{4}}{- x^{3} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График