Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
-
Идентичные выражения
- x^ четыре / шестнадцать +x^ три / четыре -x^ два / два
- x в степени 4 делить на 16 плюс x в кубе делить на 4 минус x в квадрате делить на 2
- x в степени четыре делить на шестнадцать плюс x в степени три делить на четыре минус x в степени два делить на два
- x4/16+x3/4-x2/2
- x⁴/16+x³/4-x²/2
- x в степени 4/16+x в степени 3/4-x в степени 2/2
- x^4 разделить на 16+x^3 разделить на 4-x^2 разделить на 2
-
Похожие выражения
- x^4/16+x^3/4+x^2/2
- x^4/16-x^3/4-x^2/2
-
Что Вы имели ввиду?
- x^4/16 + x^3/4 - x^2/2
- x^(1/4) + x^(3/4) - x^1
- x^((1/4 + x)^((3/4 - x)^2))/2
- x^((4/(16 + x))^((3/(4 - x))^2))/2
- x^((4/(16 + x))^((3/4 - x)^2))/2
- x^((4/16 + x)^((3/(4 - x))^2))/2
- x^((4/16 + x)^((3/4 - x)^2))/2
Вы ввели:
x^4/16+x^3/4-x^2/2
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^4/16+x^3/4-x^2/2
Решение
Вы ввели
[src]
4 3 2
x x x
f(x) = -- + -- - --
16 4 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
f = x^4/16 + x^3/4 - x^2/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.46410161513775$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.46410161513775$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.46410161513775$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.46410161513775$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} - x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-4, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} - x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -8)
(0, 0)
(1, -3/16)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-4, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{21}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{3} - 1, -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{21}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{3} - 1, -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/16 + x^3/4 - x^2/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График