Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
-
Идентичные выражения
- (x^ четыре)/ четыре - четыре *x^ три +(двадцать семь / два)*x^ два + девять
- (x в степени 4) делить на 4 минус 4 умножить на x в кубе плюс (27 делить на 2) умножить на x в квадрате плюс 9
- (x в степени четыре) делить на четыре минус четыре умножить на x в степени три плюс (двадцать семь делить на два) умножить на x в степени два плюс девять
- (x4)/4-4*x3+(27/2)*x2+9
- x4/4-4*x3+27/2*x2+9
- (x⁴)/4-4*x³+(27/2)*x²+9
- (x в степени 4)/4-4*x в степени 3+(27/2)*x в степени 2+9
- (x^4)/4-4x^3+(27/2)x^2+9
- (x4)/4-4x3+(27/2)x2+9
- x4/4-4x3+27/2x2+9
- x^4/4-4x^3+27/2x^2+9
- (x^4) разделить на 4-4*x^3+(27 разделить на 2)*x^2+9
-
Похожие выражения
- (x^4)/4-4*x^3+(27/2)*x^2-9
- (x^4)/4+4*x^3+(27/2)*x^2+9
- (x^4)/4-4*x^3-(27/2)*x^2+9
График функции y = (x^4)/4-4*x^3+(27/2)*x^2+9
Решение
Вы ввели
[src]
4 2
x 3 27*x
f(x) = -- - 4*x + ----- + 9
4 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9$$
f = x^4/4 - 4*x^3 + 27*x^2/2 + 9
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} - \frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + \frac{160}{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}} + 56}}{2} + 4 + \frac{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} - \frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + \frac{160}{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}} + 56}}{2} + 4 + \frac{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.06772586910305$$
$$x_{2} = 11.1158706096589$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} - \frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + \frac{160}{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}} + 56}}{2} + 4 + \frac{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} - \frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + \frac{160}{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}} + 56}}{2} + 4 + \frac{\sqrt{\frac{186}{\sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981}} + 2 \sqrt[3]{6 \sqrt{4389} + 981} + 28}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.06772586910305$$
$$x_{2} = 11.1158706096589$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} - 12 x^{2} + 27 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 9$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 3\right] \cup \left[9, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, 9\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} - 12 x^{2} + 27 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 9$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 9)
(3, 171/4)
(9, -693/4)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 3\right] \cup \left[9, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, 9\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \left(x^{2} - 8 x + 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = \sqrt{7} + 4$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{7} + 4\right] \cup \left[\sqrt{7} + 4, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{7} + 4, \sqrt{7} + 4\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \left(x^{2} - 8 x + 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = \sqrt{7} + 4$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{7} + 4\right] \cup \left[\sqrt{7} + 4, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{7} + 4, \sqrt{7} + 4\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - 4*x^3 + 27*x^2/2 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9 = \frac{x^{4}}{4} + 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9 = - \frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} - \frac{27 x^{2}}{2} - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9 = \frac{x^{4}}{4} + 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{27 x^{2}}{2} + 9 = - \frac{x^{4}}{4} - 4 x^{3} - \frac{27 x^{2}}{2} - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График