Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x-1)/(x-1)^2
-
1/x*log(x)
- x*log(x)^2
- x*e^(x)
-
Идентичные выражения
- (x*(x- один))/(x+ один)
- (x умножить на (x минус 1)) делить на (x плюс 1)
- (x умножить на (x минус один)) делить на (x плюс один)
- (x(x-1))/(x+1)
- xx-1/x+1
- (x*(x-1)) разделить на (x+1)
-
Похожие выражения
- (x*(x-1))/(x-1)
- (x*(x+1))/(x+1)
График функции y = (x*(x-1))/(x+1)
Решение
Вы ввели
[src]
x*(x - 1)
f(x) = ---------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1}$$
f = x*(x - 1*1)/(x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x}{x + 1} - \frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x}{x + 1} - \frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:
___ / ___\ / ___\
___ \/ 2 *\-1 + \/ 2 /*\-1 - 1 + \/ 2 /
(-1 + \/ 2, -----------------------------------)
2 ___ / ___ \ / ___ \
___ -\/ 2 *\- \/ 2 - 1/*\- \/ 2 - 1 - 1/
(- \/ 2 - 1, ---------------------------------------)
2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} + 1\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} + 1\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(x - 1*1)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1} = - \frac{x \left(- x - 1\right)}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1} = \frac{x \left(- x - 1\right)}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1} = - \frac{x \left(- x - 1\right)}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 1} = \frac{x \left(- x - 1\right)}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График