Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
-
Идентичные выражения
- (x*(x- два))/(x+ три)
- (x умножить на (x минус 2)) делить на (x плюс 3)
- (x умножить на (x минус два)) делить на (x плюс три)
- (x(x-2))/(x+3)
- xx-2/x+3
- (x*(x-2)) разделить на (x+3)
-
Похожие выражения
- (x*(x+2))/(x+3)
- (x*(x-2))/(x-3)
График функции y = (x*(x-2))/(x+3)
Решение
Вы ввели
[src]
x*(x - 2)
f(x) = ---------
x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3}$$
f = x*(x - 1*2)/(x + 3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x}{x + 3} - \frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{x - 2}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3 + \sqrt{15}$$
$$x_{2} = - \sqrt{15} - 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{15}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{15} - 3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{15} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{15}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{15} - 3, -3 + \sqrt{15}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x}{x + 3} - \frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{x - 2}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3 + \sqrt{15}$$
$$x_{2} = - \sqrt{15} - 3$$
Зн. экстремумы в точках:
____ / ____\ / ____\
____ \/ 15 *\-3 + \/ 15 /*\-3 - 2 + \/ 15 /
(-3 + \/ 15, --------------------------------------)
15 ____ / ____ \ / ____ \
____ -\/ 15 *\- \/ 15 - 3/*\- \/ 15 - 3 - 2/
(- \/ 15 - 3, ------------------------------------------)
15 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{15}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{15} - 3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{15} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{15}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{15} - 3, -3 + \sqrt{15}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x + 3} - \frac{x - 2}{x + 3} + 1\right)}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x + 3} - \frac{x - 2}{x + 3} + 1\right)}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(x - 1*2)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x + 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x + 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x + 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x + 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3} = - \frac{x \left(- x - 2\right)}{- x + 3}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3} = \frac{x \left(- x - 2\right)}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3} = - \frac{x \left(- x - 2\right)}{- x + 3}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 3} = \frac{x \left(- x - 2\right)}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График