Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+9/x
-
2*(x+3)^2-9
- (3*x^2)/(2*x-5)
-
x^3-x^2
- Производная:
-
x*log(x)/(x+1)
-
Идентичные выражения
- x*log(x)/(x+ один)
- x умножить на логарифм от (x) делить на (x плюс 1)
- x умножить на логарифм от (x) делить на (x плюс один)
- xlog(x)/(x+1)
- xlogx/x+1
- x*log(x) разделить на (x+1)
-
Похожие выражения
- x*log(x)/(x-1)
График функции y = x*log(x)/(x+1)
Решение
Вы ввели
[src]
x*log(x)
f(x) = --------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}$$
f = x*log(x)/(x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[W\left(e^{-1}\right), \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, W\left(e^{-1}\right)\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Зн. экстремумы в точках:
/ / -1\\ / -1\
/ -1\ log\W\e //*W\e /
(W\e /, ------------------)
/ -1\
W\e / + 1 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[W\left(e^{-1}\right), \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, W\left(e^{-1}\right)\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*log(x)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = - \frac{x \log{\left(- x \right)}}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = \frac{x \log{\left(- x \right)}}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = - \frac{x \log{\left(- x \right)}}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = \frac{x \log{\left(- x \right)}}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График