График функции y = x*log(x)/(x+1)

Вы ввели [src]

       x*log(x)
f(x) = --------
        x + 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}$$

f = x*log(x)/(x + 1)

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*log(x)/(x + 1).
$$\frac{0 \log{\left(0 \right)}}{0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у уравнения нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Зн. экстремумы в точках:

            / / -1\\  / -1\ 
  / -1\  log\W\e  //*W\e  / 
(W\e  /, ------------------)
              / -1\         
             W\e  / + 1

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[W\left(e^{-1}\right), \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, W\left(e^{-1}\right)\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*log(x)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = - \frac{x \log{\left(- x \right)}}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{x + 1} = \frac{x \log{\left(- x \right)}}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = x*log(x)/(x+1)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение