Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2*x^3-6*x^2-4
- 3*log(x)/sqrt(x)
-
5/2*x
- x/tan(x)
-
Идентичные выражения
- x*e^(один /(x- один))
- x умножить на e в степени (1 делить на (x минус 1))
- x умножить на e в степени (один делить на (x минус один))
- x*e(1/(x-1))
- x*e1/x-1
- xe^(1/(x-1))
- xe(1/(x-1))
- xe1/x-1
- xe^1/x-1
- x*e^(1 разделить на (x-1))
-
Похожие выражения
- x*e^(1/(x+1))
График функции y = x*e^(1/(x-1))
Решение
Вы ввели
[src]
1
1*-----
x - 1
f(x) = x*e
$$f{\left(x \right)} = x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}$$
f = x*E^(1/(x - 1*1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} - \frac{x e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} - \frac{x e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
1
---------------
___
\/ 5 3
___ / ___ \ - ----- - 1 + -
\/ 5 3 | \/ 5 3| 2 2
(- ----- + -, |- ----- + -|*e )
2 2 \ 2 2/ 1
--------------
___
\/ 5 3
___ / ___ \ -1 + ----- + -
\/ 5 3 |\/ 5 3| 2 2
(----- + -, |----- + -|*e )
2 2 \ 2 2/ Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(1/(x - 1*1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = - x e^{\frac{1}{- x - 1}}$$
- Нет
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = x e^{\frac{1}{- x - 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = - x e^{\frac{1}{- x - 1}}$$
- Нет
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = x e^{\frac{1}{- x - 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График