Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x*e^(1/(x-1))

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (x^2+4*x-12)
  • (sin(x))^(1/2)
  • (16*x^2)/(x-4)
  • sqrt(sin(3*x)) sqrt(sin(3*x))

  • Идентичные выражения

  • x*e^(один /(x- один))
  • x умножить на e в степени (1 делить на (x минус 1))
  • x умножить на e в степени (один делить на (x минус один))
  • x*e(1/(x-1))
  • x*e1/x-1
  • xe^(1/(x-1))
  • xe(1/(x-1))
  • xe1/x-1
  • xe^1/x-1
  • x*e^(1 разделить на (x-1))

  • Похожие выражения

  • x*e^(1/(x+1))
Построение графика функции/ x*e^(1/(x-1))

График функции y = x*e^(1/(x-1))

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
              1  
          1*-----
            x - 1
f(x) = x*e
$$f{\left(x \right)} = x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}$$ 
f = x*E^(1/(x - 1*1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(1/(x - 1*1)).
$$\frac{0}{e^{- \frac{1}{\left(-1\right) 1 + 0}}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} - \frac{x e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
                                    1        
                             --------------- 
                                 ___         
                               \/ 5        3 
     ___      /    ___    \  - ----- - 1 + - 
   \/ 5    3  |  \/ 5    3|      2         2 
(- ----- + -, |- ----- + -|*e               )
     2     2  \    2     2/                  

                               1        
                         -------------- 
                                ___     
                              \/ 5    3 
   ___      /  ___    \  -1 + ----- + - 
 \/ 5    3  |\/ 5    3|         2     2 
(----- + -, |----- + -|*e              )
   2     2  \  2     2/


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)}{x - 1} - 2\right) e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(1/(x - 1*1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = - x e^{\frac{1}{- x - 1}}$$
- Нет
$$x e^{1 \cdot \frac{1}{x - 1}} = x e^{\frac{1}{- x - 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x*e^(1/(x-1))
    © Господин Экзамен – Калькулятор