График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x*E^(1/(x + 1)). 0e1⋅0+11 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная e1⋅x+11−(x+1)2xex+11=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная (x+1)2(x+1x(2+x+11)−2)ex+11=0 Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1=−2 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=−1
x→−1−lim(x+1)2(x+1x(2+x+11)−2)ex+11=0 Возьмём предел x→−1+lim(x+1)2(x+1x(2+x+11)−2)ex+11=−∞ Возьмём предел - пределы не равны, зн. x1=−1 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−2] Выпуклая на промежутках [−2,∞)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(xe1⋅x+11)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(xe1⋅x+11)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(1/(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞limex+11=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=x x→∞limex+11=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: xe1⋅x+11=−xe−x+11 - Нет xe1⋅x+11=xe−x+11 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной