Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x^2+x+677)/(x-5)
- (x^2+15)/(x+4)
- 10-3*x-x^2
- sqrt(12+x^2-4*x)/(x+1)
- Производная:
-
(x+1)*(x+8)/x
-
Идентичные выражения
- (x+ один)*(x+ восемь)/x
- (x плюс 1) умножить на (x плюс 8) делить на x
- (x плюс один) умножить на (x плюс восемь) делить на x
- (x+1)(x+8)/x
- x+1x+8/x
- (x+1)*(x+8) разделить на x
-
Похожие выражения
- ((x+1)*(x+8))/x
- (x-1)*(x+8)/x
- (x+1)*(x-8)/x
- ((x+1)*(x+8)/(x))
График функции y = (x+1)*(x+8)/x
Решение
Вы ввели
[src]
(x + 1)*(x + 8)
f(x) = ---------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x}$$
f = (x + 1)*(x + 8)/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 8}{x} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2}\right] \cup \left[2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 8}{x} - \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ / ___ \ / ___ \
___ -\/ 2 *\- 2*\/ 2 + 1/*\- 2*\/ 2 + 8/
(-2*\/ 2, ---------------------------------------)
4 ___ / ___\ / ___ \
___ \/ 2 *\1 + 2*\/ 2 /*\2*\/ 2 + 8/
(2*\/ 2, ---------------------------------)
4 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2}\right] \cup \left[2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x} - \frac{x + 8}{x} + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x} - \frac{x + 8}{x} + \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)*(x + 8)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x} = - \frac{\left(- x + 1\right) \left(- x + 8\right)}{x}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x} = \frac{\left(- x + 1\right) \left(- x + 8\right)}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x} = - \frac{\left(- x + 1\right) \left(- x + 8\right)}{x}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x + 8\right)}{x} = \frac{\left(- x + 1\right) \left(- x + 8\right)}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График