Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
-
1/6*x^3-12*x
-
sqrt(8-x)
-
x^2/(x-2)
- Интеграл d{x}:
-
(x+2)/(x^2+4)
-
Идентичные выражения
- (x+ два)/(x^ два + четыре)
- (x плюс 2) делить на (x в квадрате плюс 4)
- (x плюс два) делить на (x в степени два плюс четыре)
- (x+2)/(x2+4)
- x+2/x2+4
- (x+2)/(x²+4)
- (x+2)/(x в степени 2+4)
- x+2/x^2+4
- (x+2) разделить на (x^2+4)
-
Похожие выражения
- (x+2)/(x^2-4)
- (x-2)/(x^2+4)
График функции y = (x+2)/(x^2+4)
Решение
Вы ввели
[src]
x + 2
f(x) = ------
2
x + 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$$
f = (x + 2)/(x^2 + 4)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2} - 2, -2 + 2 \sqrt{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} - 2\right] \cup \left[-2 + 2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ 2*\/ 2
(-2 + 2*\/ 2, -------------------)
2
/ ___\
\-2 + 2*\/ 2 / + 4 ___
___ -2*\/ 2
(- 2*\/ 2 - 2, --------------------)
2
/ ___ \
4 + \- 2*\/ 2 - 2/ Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2} - 2, -2 + 2 \sqrt{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} - 2\right] \cup \left[-2 + 2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -4 - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -4 + 2 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-4 - 2 \sqrt{3}, -4 + 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -4 - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[-4 + 2 \sqrt{3}, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -4 - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -4 + 2 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-4 - 2 \sqrt{3}, -4 + 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -4 - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[-4 + 2 \sqrt{3}, 2\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/(x^2 + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 4} = \frac{- x + 2}{x^{2} + 4}$$
- Нет
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 4} = - \frac{- x + 2}{x^{2} + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 4} = \frac{- x + 2}{x^{2} + 4}$$
- Нет
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 4} = - \frac{- x + 2}{x^{2} + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График