Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- (|x-5|)
- Раскрыть скобки в:
- (x-1)^3*(x+1)
-
Идентичные выражения
- (x- один)^ три *(x+ один)
- (x минус 1) в кубе умножить на (x плюс 1)
- (x минус один) в степени три умножить на (x плюс один)
- (x-1)3*(x+1)
- x-13*x+1
- (x-1)³*(x+1)
- (x-1) в степени 3*(x+1)
- (x-1)^3(x+1)
- (x-1)3(x+1)
- x-13x+1
- x-1^3x+1
-
Похожие выражения
- (x-1)^((3*x+1))
- (x+1)^3*(x+1)
- (x-1)^3*(x-1)
График функции y = (x-1)^3*(x+1)
Решение
Вы ввели
[src]
3 f(x) = (x - 1) *(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}$$
f = (x + 1)*(x - 1*1)^3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
3
(-1 - 1/2)
(-1/2, -----------)
2 3 (1, 2*(-1 + 1) )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*1)^3*(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3} = \left(- x + 1\right) \left(- x - 1\right)^{3}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3} = - \left(- x + 1\right) \left(- x - 1\right)^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3} = \left(- x + 1\right) \left(- x - 1\right)^{3}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3} = - \left(- x + 1\right) \left(- x - 1\right)^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График