Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(x-2)/(x^2+1)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • -sqrt(x)
  • ((x+1)^3)/(x-1)^2
  • 27/4*(x^3-x^2)-4 27/4*(x^3-x^2)-4
  • 1/125*(x^2-5)^3
  • Интеграл d{x}:
  • (x-2)/(x^2+1) (x-2)/(x^2+1)

  • Идентичные выражения

  • (x- два)/(x^ два + один)
  • (x минус 2) делить на (x в квадрате плюс 1)
  • (x минус два) делить на (x в степени два плюс один)
  • (x-2)/(x2+1)
  • x-2/x2+1
  • (x-2)/(x²+1)
  • (x-2)/(x в степени 2+1)
  • x-2/x^2+1
  • (x-2) разделить на (x^2+1)

  • Похожие выражения

  • (x-2)/(x^2-1)
  • (x+2)/(x^2+1)
Построение графика функции/ (x-2)/(x^2+1)

График функции y = (x-2)/(x^2+1)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
       x - 2 
f(x) = ------
        2    
       x  + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 2}{x^{2} + 1}$$ 
f = (x - 1*2)/(x^2 + 1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 2}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда $x$ равняется 0:
подставляем $x = 0$ в $\frac{x - 2}{x^{2} + 1}$.
$$\frac{\left(-1\right) 2 + 0}{0^{2} + 1}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Точка:
$$\Bigl(0, -2\Bigl)$$
Экстремумы функции

Step


Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{5} + 2$$
$$x_{2} = 2 + \sqrt{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
$$\Bigl(2 - \sqrt{5}, \frac{- \sqrt{5} - 2 + 2}{\left(2 - \sqrt{5}\right)^{2} + 1}\Bigl)$$
$$\Bigl(2 + \sqrt{5}, \frac{-2 + 2 + \sqrt{5}}{1 + \left(2 + \sqrt{5}\right)^{2}}\Bigl)$$

Step


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5} + 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
Убывает на промежутках:
$$\left[- \sqrt{5} + 2, 2 + \sqrt{5}\right]$$
Возрастает на промежутках:
$$\left(-\infty, - \sqrt{5} + 2\right] \cup \left[2 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Точки перегибов

Step


Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 + \frac{5}{\sqrt[3]{10 + 5 i}} + \sqrt[3]{10 + 5 i}$$

Step


Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках
$$\left[2 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*2)/(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 2}{x^{2} + 1} = \frac{- x - 2}{x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{x - 2}{x^{2} + 1} = - \frac{- x - 2}{x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x-2)/(x^2+1)
    © Господин Экзамен – Калькулятор