Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- x+(4/x)-4
- Производная:
- x/log(x)^2
- Предел функции:
- x/log(x)^2
-
Идентичные выражения
- x/log(x)^ два
- x делить на логарифм от (x) в квадрате
- x делить на логарифм от (x) в степени два
- x/log(x)2
- x/logx2
- x/log(x)²
- x/log(x) в степени 2
- x/logx^2
- x разделить на log(x)^2
-
Похожие выражения
- sqrt(6-3*x)/log(x^2)
- x/(log(x)^(2))
График функции y = x/log(x)^2
Решение
Вы ввели
[src]
x
f(x) = -------
2
log (x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}}$$
f = x/(log(x)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
2
2 e
(e, --)
4 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{3}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(log(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} = - \frac{x}{\log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} = \frac{x}{\log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} = - \frac{x}{\log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} = \frac{x}{\log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График