Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
27*x-x^3
-
9*x^2+1/x
- 2*x+(|x-3|)
-
8/(16-x^2)
-
Идентичные выражения
- три *sin((x/ два)+(pi/ четыре))
- 3 умножить на синус от ((x делить на 2) плюс ( число пи делить на 4))
- три умножить на синус от ((x делить на два) плюс ( число пи делить на четыре))
- 3sin((x/2)+(pi/4))
- 3sinx/2+pi/4
- 3*sin((x разделить на 2)+(pi разделить на 4))
-
Похожие выражения
- 3*sin((x/2)-(pi/4))
График функции y = 3*sin((x/2)+(pi/4))
Решение
Вы ввели
[src]
/x pi\
f(x) = 3*sin|- + --|
\2 4 /
$$f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
f = 3*sin(x/2 + pi/4)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = 92.6769832808989$$
$$x_{3} = -58.1194640914112$$
$$x_{4} = 10.9955742875643$$
$$x_{5} = -45.553093477052$$
$$x_{6} = -95.8185759344887$$
$$x_{7} = -7.85398163397448$$
$$x_{8} = -20.4203522483337$$
$$x_{9} = 17.2787595947439$$
$$x_{10} = 73.8274273593601$$
$$x_{11} = 61.261056745001$$
$$x_{12} = -146.084058391925$$
$$x_{13} = -76.9690200129499$$
$$x_{14} = -89.5353906273091$$
$$x_{15} = 67.5442420521806$$
$$x_{16} = 4.71238898038469$$
$$x_{17} = 36.1283155162826$$
$$x_{18} = -70.6858347057703$$
$$x_{19} = -51.8362787842316$$
$$x_{20} = -39.2699081698724$$
$$x_{21} = 54.9778714378214$$
$$x_{22} = -64.4026493985908$$
$$x_{23} = 42.4115008234622$$
$$x_{24} = -14.1371669411541$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = -26.7035375555132$$
$$x_{27} = 29.845130209103$$
$$x_{28} = 23.5619449019235$$
$$x_{29} = -32.9867228626928$$
$$x_{30} = 80.1106126665397$$
$$x_{31} = -83.2522053201295$$
$$x_{32} = 86.3937979737193$$
$$x_{33} = -1.5707963267949$$
$$x_{34} = -246.615023306799$$
$$x_{35} = -102.101761241668$$
значит надо решить уравнение:
$$3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = 92.6769832808989$$
$$x_{3} = -58.1194640914112$$
$$x_{4} = 10.9955742875643$$
$$x_{5} = -45.553093477052$$
$$x_{6} = -95.8185759344887$$
$$x_{7} = -7.85398163397448$$
$$x_{8} = -20.4203522483337$$
$$x_{9} = 17.2787595947439$$
$$x_{10} = 73.8274273593601$$
$$x_{11} = 61.261056745001$$
$$x_{12} = -146.084058391925$$
$$x_{13} = -76.9690200129499$$
$$x_{14} = -89.5353906273091$$
$$x_{15} = 67.5442420521806$$
$$x_{16} = 4.71238898038469$$
$$x_{17} = 36.1283155162826$$
$$x_{18} = -70.6858347057703$$
$$x_{19} = -51.8362787842316$$
$$x_{20} = -39.2699081698724$$
$$x_{21} = 54.9778714378214$$
$$x_{22} = -64.4026493985908$$
$$x_{23} = 42.4115008234622$$
$$x_{24} = -14.1371669411541$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = -26.7035375555132$$
$$x_{27} = 29.845130209103$$
$$x_{28} = 23.5619449019235$$
$$x_{29} = -32.9867228626928$$
$$x_{30} = 80.1106126665397$$
$$x_{31} = -83.2522053201295$$
$$x_{32} = 86.3937979737193$$
$$x_{33} = -1.5707963267949$$
$$x_{34} = -246.615023306799$$
$$x_{35} = -102.101761241668$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi (--, 3) 2
5*pi (----, -3) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*sin(x/2 + pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = - 3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = - 3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График