Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
27*x-x^3
-
9*x^2+1/x
- 2*x+(|x-3|)
-
8/(16-x^2)
-
Идентичные выражения
- девять *x^ два + один /x
- 9 умножить на x в квадрате плюс 1 делить на x
- девять умножить на x в степени два плюс один делить на x
- 9*x2+1/x
- 9*x²+1/x
- 9*x в степени 2+1/x
- 9x^2+1/x
- 9x2+1/x
- 9*x^2+1 разделить на x
-
Похожие выражения
- -((9*(x^2)+1)/(x))
- -(9*x^2+1)/x
- (-9*x^2+1)/x
- 9*x^2-1/x
- (9*x^2+1)/x
-
Что Вы имели ввиду?
- (9*x^2 + 1)/x
- 9*(x^2 + 1)/x
- 9*x*(2 + 1)/x
- 9*x^(2 + 1)/x
- 9*x^2 + 1/x
- 9*x^2 + 1/x
Вы ввели:
9*x^2+1/x
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 9*x^2+1/x
Решение
Вы ввели
[src]
2 1
f(x) = 9*x + 1*-
x
$$f{\left(x \right)} = 9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}$$
f = 9*x^2 + 1/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.480749856769136$$
$$x_{2} = -0.480749856769136$$
значит надо решить уравнение:
$$9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.480749856769136$$
$$x_{2} = -0.480749856769136$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$18 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{12}}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{12}}{6}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\sqrt[3]{12}}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{12}}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$18 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{12}}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
3 ____ 3 ____ \/ 12 3*\/ 18 (------, --------) 6 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{12}}{6}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\sqrt[3]{12}}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{12}}{6}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(9 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(9 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(9 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(9 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(9 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(9 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{3}}{3}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 9*x^2 + 1/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 9 x^{2} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = - 9 x^{2} + \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = 9 x^{2} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$9 x^{2} + 1 \cdot \frac{1}{x} = - 9 x^{2} + \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График