Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x^(-5)
-
3/x-1/x^3
-
cos(x)-log(cos(x))
-
tan((|x/2|))
- Производная:
-
3/x-1/x^3
-
Идентичные выражения
- три /x- один /x^ три
- 3 делить на x минус 1 делить на x в кубе
- три делить на x минус один делить на x в степени три
- 3/x-1/x3
- 3/x-1/x³
- 3/x-1/x в степени 3
- 3 разделить на x-1 разделить на x^3
-
Похожие выражения
- (3/x)-(1/x^3)
- 3/x+1/x^3
График функции y = 3/x-1/x^3
Решение
Вы ввели
[src]
3 1
f(x) = - - 1*--
x 3
x
$$f{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}$$
f = -1/(x^3) + 3/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -2)
(1, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3/x - 1/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$$
- Нет
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$$
- Нет
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График