Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^2*sqrt(4-(x^2))
- 3*x^4+4*x^3-1
-
2*x^2-4*x-2
-
(x-2)*exp(3-x)
-
Идентичные выражения
- (три / два)*sin(x/ два)
- (3 делить на 2) умножить на синус от (x делить на 2)
- (три делить на два) умножить на синус от (x делить на два)
- (3/2)sin(x/2)
- 3/2sinx/2
- (3 разделить на 2)*sin(x разделить на 2)
График функции y = (3/2)*sin(x/2)
Решение
Вы ввели
[src]
/x\
3*sin|-|
\2/
f(x) = --------
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
f = 3*sin(x/2)/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -69.1150383789755$$
$$x_{2} = -43.9822971502571$$
$$x_{3} = 6.28318530717959$$
$$x_{4} = 81.6814089933346$$
$$x_{5} = -75.398223686155$$
$$x_{6} = -31.4159265358979$$
$$x_{7} = -106.814150222053$$
$$x_{8} = 62.8318530717959$$
$$x_{9} = -12.5663706143592$$
$$x_{10} = -56.5486677646163$$
$$x_{11} = 37.6991118430775$$
$$x_{12} = -50.2654824574367$$
$$x_{13} = -18.8495559215388$$
$$x_{14} = 31.4159265358979$$
$$x_{15} = 18.8495559215388$$
$$x_{16} = 75.398223686155$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -81.6814089933346$$
$$x_{20} = 25.1327412287183$$
$$x_{21} = 94.2477796076938$$
$$x_{22} = -62.8318530717959$$
$$x_{23} = -25.1327412287183$$
$$x_{24} = 100.530964914873$$
$$x_{25} = 87.9645943005142$$
$$x_{26} = -37.6991118430775$$
$$x_{27} = -6.28318530717959$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = 43.9822971502571$$
$$x_{30} = 50.2654824574367$$
$$x_{31} = 69.1150383789755$$
$$x_{32} = -87.9645943005142$$
$$x_{33} = -100.530964914873$$
$$x_{34} = 12.5663706143592$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -69.1150383789755$$
$$x_{2} = -43.9822971502571$$
$$x_{3} = 6.28318530717959$$
$$x_{4} = 81.6814089933346$$
$$x_{5} = -75.398223686155$$
$$x_{6} = -31.4159265358979$$
$$x_{7} = -106.814150222053$$
$$x_{8} = 62.8318530717959$$
$$x_{9} = -12.5663706143592$$
$$x_{10} = -56.5486677646163$$
$$x_{11} = 37.6991118430775$$
$$x_{12} = -50.2654824574367$$
$$x_{13} = -18.8495559215388$$
$$x_{14} = 31.4159265358979$$
$$x_{15} = 18.8495559215388$$
$$x_{16} = 75.398223686155$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -81.6814089933346$$
$$x_{20} = 25.1327412287183$$
$$x_{21} = 94.2477796076938$$
$$x_{22} = -62.8318530717959$$
$$x_{23} = -25.1327412287183$$
$$x_{24} = 100.530964914873$$
$$x_{25} = 87.9645943005142$$
$$x_{26} = -37.6991118430775$$
$$x_{27} = -6.28318530717959$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = 43.9822971502571$$
$$x_{30} = 50.2654824574367$$
$$x_{31} = 69.1150383789755$$
$$x_{32} = -87.9645943005142$$
$$x_{33} = -100.530964914873$$
$$x_{34} = 12.5663706143592$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(pi, 3/2)
(3*pi, -3/2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*sin(x/2)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = - \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = - \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График