Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
3/2*cos(x)
-
-x^4+20*x^2-64
-
cos(x)*sin(x)^(2)
-
sin(x)+(sqrt(3))*cos(x)
- Предел функции:
-
tan(x)/x
- Производная:
-
tan(x)/x
- Интеграл d{x}:
- tan(x)/x
-
Идентичные выражения
- tan(x)/x
- тангенс от (x) делить на x
- tanx/x
- tan(x) разделить на x
-
Похожие выражения
- (x+1)*atan(x/x^2+1/3*x)^(1/2)*(x)^(1/2)
- atan(x/(x+1))
- atan(x/(x-1))
График функции y = tan(x)/x
Решение
Вы ввели
[src]
tan(x)
f(x) = ------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}$$
f = tan(x)/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = 47.1238898038469$$
$$x_{3} = -84.8230016469244$$
$$x_{4} = -56.5486677646163$$
$$x_{5} = 94.2477796076938$$
$$x_{6} = -6.28318530717959$$
$$x_{7} = 75.398223686155$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 12.5663706143592$$
$$x_{10} = 31.4159265358979$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -59.6902604182061$$
$$x_{13} = 3.14159265358979$$
$$x_{14} = -18.8495559215388$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = 40.8407044966673$$
$$x_{17} = -25.1327412287183$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -100.530964914873$$
$$x_{20} = 100.530964914873$$
$$x_{21} = 9.42477796076938$$
$$x_{22} = -34.5575191894877$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = -62.8318530717959$$
$$x_{25} = 25.1327412287183$$
$$x_{26} = 15.707963267949$$
$$x_{27} = -31.4159265358979$$
$$x_{28} = -53.4070751110265$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = 59.6902604182061$$
$$x_{31} = -47.1238898038469$$
$$x_{32} = -3.14159265358979$$
$$x_{33} = -21.9911485751286$$
$$x_{34} = -43.9822971502571$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = -28.2743338823081$$
$$x_{37} = 62.8318530717959$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = 81.6814089933346$$
$$x_{40} = 34.5575191894877$$
$$x_{41} = 91.106186954104$$
$$x_{42} = -15.707963267949$$
$$x_{43} = -81.6814089933346$$
$$x_{44} = 18.8495559215388$$
$$x_{45} = 84.8230016469244$$
$$x_{46} = 53.4070751110265$$
$$x_{47} = 97.3893722612836$$
$$x_{48} = -9.42477796076938$$
$$x_{49} = 72.2566310325652$$
$$x_{50} = 87.9645943005142$$
$$x_{51} = 28.2743338823081$$
$$x_{52} = -40.8407044966673$$
$$x_{53} = 37.6991118430775$$
$$x_{54} = -72.2566310325652$$
$$x_{55} = 65.9734457253857$$
$$x_{56} = -12.5663706143592$$
$$x_{57} = -87.9645943005142$$
$$x_{58} = 78.5398163397448$$
$$x_{59} = 43.9822971502571$$
$$x_{60} = 56.5486677646163$$
$$x_{61} = -37.6991118430775$$
$$x_{62} = -78.5398163397448$$
$$x_{63} = -75.398223686155$$
$$x_{64} = 69.1150383789755$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = 47.1238898038469$$
$$x_{3} = -84.8230016469244$$
$$x_{4} = -56.5486677646163$$
$$x_{5} = 94.2477796076938$$
$$x_{6} = -6.28318530717959$$
$$x_{7} = 75.398223686155$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 12.5663706143592$$
$$x_{10} = 31.4159265358979$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -59.6902604182061$$
$$x_{13} = 3.14159265358979$$
$$x_{14} = -18.8495559215388$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = 40.8407044966673$$
$$x_{17} = -25.1327412287183$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -100.530964914873$$
$$x_{20} = 100.530964914873$$
$$x_{21} = 9.42477796076938$$
$$x_{22} = -34.5575191894877$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = -62.8318530717959$$
$$x_{25} = 25.1327412287183$$
$$x_{26} = 15.707963267949$$
$$x_{27} = -31.4159265358979$$
$$x_{28} = -53.4070751110265$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = 59.6902604182061$$
$$x_{31} = -47.1238898038469$$
$$x_{32} = -3.14159265358979$$
$$x_{33} = -21.9911485751286$$
$$x_{34} = -43.9822971502571$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = -28.2743338823081$$
$$x_{37} = 62.8318530717959$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = 81.6814089933346$$
$$x_{40} = 34.5575191894877$$
$$x_{41} = 91.106186954104$$
$$x_{42} = -15.707963267949$$
$$x_{43} = -81.6814089933346$$
$$x_{44} = 18.8495559215388$$
$$x_{45} = 84.8230016469244$$
$$x_{46} = 53.4070751110265$$
$$x_{47} = 97.3893722612836$$
$$x_{48} = -9.42477796076938$$
$$x_{49} = 72.2566310325652$$
$$x_{50} = 87.9645943005142$$
$$x_{51} = 28.2743338823081$$
$$x_{52} = -40.8407044966673$$
$$x_{53} = 37.6991118430775$$
$$x_{54} = -72.2566310325652$$
$$x_{55} = 65.9734457253857$$
$$x_{56} = -12.5663706143592$$
$$x_{57} = -87.9645943005142$$
$$x_{58} = 78.5398163397448$$
$$x_{59} = 43.9822971502571$$
$$x_{60} = 56.5486677646163$$
$$x_{61} = -37.6991118430775$$
$$x_{62} = -78.5398163397448$$
$$x_{63} = -75.398223686155$$
$$x_{64} = 69.1150383789755$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2.7068940943301 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{2} = -4.5852170191091 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{3} = -6.14612943757468 \cdot 10^{-17}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2.7068940943301 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{2} = -4.5852170191091 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{3} = -6.14612943757468 \cdot 10^{-17}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[2.7068940943301 \cdot 10^{-14}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -6.14612943757468 \cdot 10^{-17}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2.7068940943301 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{2} = -4.5852170191091 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{3} = -6.14612943757468 \cdot 10^{-17}$$
Зн. экстремумы в точках:
(2.7068940943301e-14, 1)
(-4.5852170191091e-17, 1)
(-6.14612943757468e-17, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2.7068940943301 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{2} = -4.5852170191091 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{3} = -6.14612943757468 \cdot 10^{-17}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[2.7068940943301 \cdot 10^{-14}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -6.14612943757468 \cdot 10^{-17}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -69.1294999494455$$
$$x_{2} = -59.7070026124805$$
$$x_{3} = -12.6448047030571$$
$$x_{4} = 91.1171600731987$$
$$x_{5} = 44.0050062097373$$
$$x_{6} = 62.8477591701485$$
$$x_{7} = 37.7255942551796$$
$$x_{8} = 84.8347870810872$$
$$x_{9} = 59.7070026124805$$
$$x_{10} = -65.9885952215714$$
$$x_{11} = -97.399637797279$$
$$x_{12} = 3.40690770689403$$
$$x_{13} = 78.5525439224845$$
$$x_{14} = -6.43387606467487$$
$$x_{15} = -9.52822730114541$$
$$x_{16} = -37.7255942551796$$
$$x_{17} = -53.4257839289366$$
$$x_{18} = -47.1450882107807$$
$$x_{19} = -28.3095989977492$$
$$x_{20} = -75.4114811587071$$
$$x_{21} = 9.52822730114541$$
$$x_{22} = 47.1450882107807$$
$$x_{23} = -25.1723840259432$$
$$x_{24} = 87.9759590846368$$
$$x_{25} = -56.5663387618027$$
$$x_{26} = 75.4114811587071$$
$$x_{27} = 15.7710339845247$$
$$x_{28} = -50.2853584856195$$
$$x_{29} = 18.9022635301866$$
$$x_{30} = -81.6936474025491$$
$$x_{31} = -84.8347870810872$$
$$x_{32} = 22.0364040421205$$
$$x_{33} = -44.0050062097373$$
$$x_{34} = 34.5864001254547$$
$$x_{35} = 69.1294999494455$$
$$x_{36} = 97.399637797279$$
$$x_{37} = -62.8477591701485$$
$$x_{38} = -3.40690770689403$$
$$x_{39} = 56.5663387618027$$
$$x_{40} = 94.2583871514792$$
$$x_{41} = -87.9759590846368$$
$$x_{42} = 65.9885952215714$$
$$x_{43} = 6.43387606467487$$
$$x_{44} = 53.4257839289366$$
$$x_{45} = -100.540909803285$$
$$x_{46} = -94.2583871514792$$
$$x_{47} = -31.4476826131772$$
$$x_{48} = 12.6448047030571$$
$$x_{49} = 81.6936474025491$$
$$x_{50} = -78.5525439224845$$
$$x_{51} = 100.540909803285$$
$$x_{52} = 25.1723840259432$$
$$x_{53} = -91.1171600731987$$
$$x_{54} = 50.2853584856195$$
$$x_{55} = 31.4476826131772$$
$$x_{56} = 40.8651557120368$$
$$x_{57} = 72.2704644131198$$
$$x_{58} = -72.2704644131198$$
$$x_{59} = 28.3095989977492$$
$$x_{60} = -22.0364040421205$$
$$x_{61} = -40.8651557120368$$
$$x_{62} = -18.9022635301866$$
$$x_{63} = -34.5864001254547$$
$$x_{64} = -15.7710339845247$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[100.540909803285, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-3.40690770689403, 3.40690770689403\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -69.1294999494455$$
$$x_{2} = -59.7070026124805$$
$$x_{3} = -12.6448047030571$$
$$x_{4} = 91.1171600731987$$
$$x_{5} = 44.0050062097373$$
$$x_{6} = 62.8477591701485$$
$$x_{7} = 37.7255942551796$$
$$x_{8} = 84.8347870810872$$
$$x_{9} = 59.7070026124805$$
$$x_{10} = -65.9885952215714$$
$$x_{11} = -97.399637797279$$
$$x_{12} = 3.40690770689403$$
$$x_{13} = 78.5525439224845$$
$$x_{14} = -6.43387606467487$$
$$x_{15} = -9.52822730114541$$
$$x_{16} = -37.7255942551796$$
$$x_{17} = -53.4257839289366$$
$$x_{18} = -47.1450882107807$$
$$x_{19} = -28.3095989977492$$
$$x_{20} = -75.4114811587071$$
$$x_{21} = 9.52822730114541$$
$$x_{22} = 47.1450882107807$$
$$x_{23} = -25.1723840259432$$
$$x_{24} = 87.9759590846368$$
$$x_{25} = -56.5663387618027$$
$$x_{26} = 75.4114811587071$$
$$x_{27} = 15.7710339845247$$
$$x_{28} = -50.2853584856195$$
$$x_{29} = 18.9022635301866$$
$$x_{30} = -81.6936474025491$$
$$x_{31} = -84.8347870810872$$
$$x_{32} = 22.0364040421205$$
$$x_{33} = -44.0050062097373$$
$$x_{34} = 34.5864001254547$$
$$x_{35} = 69.1294999494455$$
$$x_{36} = 97.399637797279$$
$$x_{37} = -62.8477591701485$$
$$x_{38} = -3.40690770689403$$
$$x_{39} = 56.5663387618027$$
$$x_{40} = 94.2583871514792$$
$$x_{41} = -87.9759590846368$$
$$x_{42} = 65.9885952215714$$
$$x_{43} = 6.43387606467487$$
$$x_{44} = 53.4257839289366$$
$$x_{45} = -100.540909803285$$
$$x_{46} = -94.2583871514792$$
$$x_{47} = -31.4476826131772$$
$$x_{48} = 12.6448047030571$$
$$x_{49} = 81.6936474025491$$
$$x_{50} = -78.5525439224845$$
$$x_{51} = 100.540909803285$$
$$x_{52} = 25.1723840259432$$
$$x_{53} = -91.1171600731987$$
$$x_{54} = 50.2853584856195$$
$$x_{55} = 31.4476826131772$$
$$x_{56} = 40.8651557120368$$
$$x_{57} = 72.2704644131198$$
$$x_{58} = -72.2704644131198$$
$$x_{59} = 28.3095989977492$$
$$x_{60} = -22.0364040421205$$
$$x_{61} = -40.8651557120368$$
$$x_{62} = -18.9022635301866$$
$$x_{63} = -34.5864001254547$$
$$x_{64} = -15.7710339845247$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[100.540909803285, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-3.40690770689403, 3.40690770689403\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График