Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- 3*x-(x^3)/9
- sqrt(2*x-1)
-
Идентичные выражения
- atan(x/(x- один))
- арктангенс от (x делить на (x минус 1))
- арктангенс от (x делить на (x минус один))
- atanx/x-1
- atan(x разделить на (x-1))
-
Похожие выражения
- atan(x/(x+1))
- arctan(x/(x-1))
График функции y = atan(x/(x-1))
Решение
Вы ввели
[src]
/ x \
f(x) = atan|-----|
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
f = atan(x/(x - 1*1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}}{\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}}{\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x/(x - 1*1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{- x - 1} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{- x - 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{- x - 1} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{- x - 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График