Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^2*sqrt(4-(x^2))
- 3*x^4+4*x^3-1
-
2*x^2-4*x-2
-
(x-2)*exp(3-x)
- Интеграл d{x}:
- sin(2*x)/2
- Производная:
- sin(2*x)/2
-
Идентичные выражения
- sin(два *x)/ два
- синус от (2 умножить на x) делить на 2
- синус от (два умножить на x) делить на два
- sin(2x)/2
- sin2x/2
- sin(2*x) разделить на 2
График функции y = sin(2*x)/2
Решение
Вы ввели
[src]
sin(2*x)
f(x) = --------
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
f = sin(2*x)/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 72.2566310325652$$
$$x_{2} = -36.1283155162826$$
$$x_{3} = 78.5398163397448$$
$$x_{4} = -87.9645943005142$$
$$x_{5} = 48.6946861306418$$
$$x_{6} = 4.71238898038469$$
$$x_{7} = -20.4203522483337$$
$$x_{8} = 45.553093477052$$
$$x_{9} = 21.9911485751286$$
$$x_{10} = 81.6814089933346$$
$$x_{11} = 12.5663706143592$$
$$x_{12} = -64.4026493985908$$
$$x_{13} = -72.2566310325652$$
$$x_{14} = 58.1194640914112$$
$$x_{15} = 94.2477796076938$$
$$x_{16} = 59.6902604182061$$
$$x_{17} = -31.4159265358979$$
$$x_{18} = -483.805268652828$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = 43.9822971502571$$
$$x_{21} = -53.4070751110265$$
$$x_{22} = 42.4115008234622$$
$$x_{23} = 51.8362787842316$$
$$x_{24} = 14.1371669411541$$
$$x_{25} = -119.380520836412$$
$$x_{26} = 29.845130209103$$
$$x_{27} = -61.261056745001$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = 92.6769832808989$$
$$x_{30} = -40.8407044966673$$
$$x_{31} = 65.9734457253857$$
$$x_{32} = -81.6814089933346$$
$$x_{33} = 26.7035375555132$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -6.28318530717959$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = -94.2477796076938$$
$$x_{38} = 86.3937979737193$$
$$x_{39} = -89.5353906273091$$
$$x_{40} = -95.8185759344887$$
$$x_{41} = -23.5619449019235$$
$$x_{42} = 15.707963267949$$
$$x_{43} = -9.42477796076938$$
$$x_{44} = -48.6946861306418$$
$$x_{45} = 64.4026493985908$$
$$x_{46} = -28.2743338823081$$
$$x_{47} = -45.553093477052$$
$$x_{48} = -83.2522053201295$$
$$x_{49} = 590.619418874881$$
$$x_{50} = 23.5619449019235$$
$$x_{51} = -42.4115008234622$$
$$x_{52} = -67.5442420521806$$
$$x_{53} = -75.398223686155$$
$$x_{54} = -29.845130209103$$
$$x_{55} = 28.2743338823081$$
$$x_{56} = -86.3937979737193$$
$$x_{57} = -58.1194640914112$$
$$x_{58} = 0$$
$$x_{59} = -65.9734457253857$$
$$x_{60} = 113.097335529233$$
$$x_{61} = 36.1283155162826$$
$$x_{62} = -51.8362787842316$$
$$x_{63} = 89.5353906273091$$
$$x_{64} = -43.9822971502571$$
$$x_{65} = -15.707963267949$$
$$x_{66} = 100.530964914873$$
$$x_{67} = -7.85398163397448$$
$$x_{68} = 7.85398163397448$$
$$x_{69} = -39.2699081698724$$
$$x_{70} = -37.6991118430775$$
$$x_{71} = 80.1106126665397$$
$$x_{72} = 67.5442420521806$$
$$x_{73} = 31.4159265358979$$
$$x_{74} = 87.9645943005142$$
$$x_{75} = -73.8274273593601$$
$$x_{76} = -17.2787595947439$$
$$x_{77} = -50.2654824574367$$
$$x_{78} = 34.5575191894877$$
$$x_{79} = 1.5707963267949$$
$$x_{80} = 95.8185759344887$$
$$x_{81} = 70.6858347057703$$
$$x_{82} = 37.6991118430775$$
$$x_{83} = -21.9911485751286$$
$$x_{84} = 73.8274273593601$$
$$x_{85} = 20.4203522483337$$
$$x_{86} = -97.3893722612836$$
$$x_{87} = 6.28318530717959$$
$$x_{88} = 50.2654824574367$$
$$x_{89} = -14.1371669411541$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 72.2566310325652$$
$$x_{2} = -36.1283155162826$$
$$x_{3} = 78.5398163397448$$
$$x_{4} = -87.9645943005142$$
$$x_{5} = 48.6946861306418$$
$$x_{6} = 4.71238898038469$$
$$x_{7} = -20.4203522483337$$
$$x_{8} = 45.553093477052$$
$$x_{9} = 21.9911485751286$$
$$x_{10} = 81.6814089933346$$
$$x_{11} = 12.5663706143592$$
$$x_{12} = -64.4026493985908$$
$$x_{13} = -72.2566310325652$$
$$x_{14} = 58.1194640914112$$
$$x_{15} = 94.2477796076938$$
$$x_{16} = 59.6902604182061$$
$$x_{17} = -31.4159265358979$$
$$x_{18} = -483.805268652828$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = 43.9822971502571$$
$$x_{21} = -53.4070751110265$$
$$x_{22} = 42.4115008234622$$
$$x_{23} = 51.8362787842316$$
$$x_{24} = 14.1371669411541$$
$$x_{25} = -119.380520836412$$
$$x_{26} = 29.845130209103$$
$$x_{27} = -61.261056745001$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = 92.6769832808989$$
$$x_{30} = -40.8407044966673$$
$$x_{31} = 65.9734457253857$$
$$x_{32} = -81.6814089933346$$
$$x_{33} = 26.7035375555132$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -6.28318530717959$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = -94.2477796076938$$
$$x_{38} = 86.3937979737193$$
$$x_{39} = -89.5353906273091$$
$$x_{40} = -95.8185759344887$$
$$x_{41} = -23.5619449019235$$
$$x_{42} = 15.707963267949$$
$$x_{43} = -9.42477796076938$$
$$x_{44} = -48.6946861306418$$
$$x_{45} = 64.4026493985908$$
$$x_{46} = -28.2743338823081$$
$$x_{47} = -45.553093477052$$
$$x_{48} = -83.2522053201295$$
$$x_{49} = 590.619418874881$$
$$x_{50} = 23.5619449019235$$
$$x_{51} = -42.4115008234622$$
$$x_{52} = -67.5442420521806$$
$$x_{53} = -75.398223686155$$
$$x_{54} = -29.845130209103$$
$$x_{55} = 28.2743338823081$$
$$x_{56} = -86.3937979737193$$
$$x_{57} = -58.1194640914112$$
$$x_{58} = 0$$
$$x_{59} = -65.9734457253857$$
$$x_{60} = 113.097335529233$$
$$x_{61} = 36.1283155162826$$
$$x_{62} = -51.8362787842316$$
$$x_{63} = 89.5353906273091$$
$$x_{64} = -43.9822971502571$$
$$x_{65} = -15.707963267949$$
$$x_{66} = 100.530964914873$$
$$x_{67} = -7.85398163397448$$
$$x_{68} = 7.85398163397448$$
$$x_{69} = -39.2699081698724$$
$$x_{70} = -37.6991118430775$$
$$x_{71} = 80.1106126665397$$
$$x_{72} = 67.5442420521806$$
$$x_{73} = 31.4159265358979$$
$$x_{74} = 87.9645943005142$$
$$x_{75} = -73.8274273593601$$
$$x_{76} = -17.2787595947439$$
$$x_{77} = -50.2654824574367$$
$$x_{78} = 34.5575191894877$$
$$x_{79} = 1.5707963267949$$
$$x_{80} = 95.8185759344887$$
$$x_{81} = 70.6858347057703$$
$$x_{82} = 37.6991118430775$$
$$x_{83} = -21.9911485751286$$
$$x_{84} = 73.8274273593601$$
$$x_{85} = 20.4203522483337$$
$$x_{86} = -97.3893722612836$$
$$x_{87} = 6.28318530717959$$
$$x_{88} = 50.2654824574367$$
$$x_{89} = -14.1371669411541$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi 1 (--, -) 4 2
3*pi (----, -1/2) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График