Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
- Производная:
-
5*x/(x^2-4*x+3)
-
Идентичные выражения
- пять *x/(x^ два - четыре *x+ три)
- 5 умножить на x делить на (x в квадрате минус 4 умножить на x плюс 3)
- пять умножить на x делить на (x в степени два минус четыре умножить на x плюс три)
- 5*x/(x2-4*x+3)
- 5*x/x2-4*x+3
- 5*x/(x²-4*x+3)
- 5*x/(x в степени 2-4*x+3)
- 5x/(x^2-4x+3)
- 5x/(x2-4x+3)
- 5x/x2-4x+3
- 5x/x^2-4x+3
- 5*x разделить на (x^2-4*x+3)
-
Похожие выражения
- 5*x/(x^2-4*x-3)
- 5*x/(x^2+4*x+3)
-
Что Вы имели ввиду?
- 5*x/(x^2 - 4*x + 3)
- 5*x/(x^2 - 4*x) + 3
- 5*x*x/(x^2 - 1*4) + 3
- 5*x/(x^2) - 4*x + 3
- 5*x*2/x - 4*x + 3
- 5*x/(x^2) - 4*x + 3
- 5*x/(x^2) - 4*x + 3
Вы ввели:
5*x/(x^2-4*x+3)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 5*x/(x^2-4*x+3)
Решение
Вы ввели
[src]
5*x
f(x) = ------------
2
x - 4*x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3}$$
f = 5*x/(x^2 - 4*x + 3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{5 x \left(- 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{5 x \left(- 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ -5*\/ 3
(-\/ 3, -----------)
___
6 + 4*\/ 3 ___
___ 5*\/ 3
(\/ 3, -------------)
___
- 4*\/ 3 + 6 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{10 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} - 1\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5*x/(x^2 - 4*x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3} = - \frac{5 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
$$\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{5 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3} = - \frac{5 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
$$\frac{5 x}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{5 x}{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График