График функции y = ((1+x)/(1-x))^4

Вы ввели [src]

              4
       /1 + x\ 
f(x) = |-----| 
       \1 - x/

$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right)^{4}$$

f = ((x + 1)/(1 - x))^4

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right)^{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00194449368983$$
$$x_{2} = -1.00122109896203$$
$$x_{3} = -1.00154983504719$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((1 + x)/(1 - x))^4.
$$\left(\frac{0 + 1}{\left(-1\right) 0 + 1}\right)^{4}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{\left(x + 1\right)^{4}}{\left(- x + 1\right)^{4}} \cdot \left(- x + 1\right) \left(\frac{4}{- x + 1} + \frac{4 \left(x + 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right)^{4} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right)^{4} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((1 + x)/(1 - x))^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{4}} \left(x + 1\right)^{4}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{4}} \left(x + 1\right)^{4}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right)^{4} = \frac{\left(- x + 1\right)^{4}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
- Нет
$$\left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right)^{4} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{4}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = ((1+x)/(1-x))^4

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение