Производная ((1+x)/(1-x))^4

1. Заменим $u = \frac{x + 1}{1 - x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x + 1}{1 - x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x + 1$ и $g{\left(x \right)} = 1 - x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $1 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2}{\left(1 - x\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{8 \left(x + 1\right)^{3}}{\left(1 - x\right)^{5}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{8 \left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{5}}$

Ответ:

$- \frac{8 \left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{5}}$