Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
- (16*x^2)/(x-4)
-
sqrt(sin(3*x))
- Производная:
-
(1-log(x))/(x+1)
-
Идентичные выражения
- (один -log(x))/(x+ один)
- (1 минус логарифм от (x)) делить на (x плюс 1)
- (один минус логарифм от (x)) делить на (x плюс один)
- 1-logx/x+1
- (1-log(x)) разделить на (x+1)
-
Похожие выражения
- (1+log(x))/(x+1)
- (1-log(x))/(x-1)
График функции y = (1-log(x))/(x+1)
Решение
Вы ввели
[src]
1 - log(x)
f(x) = ----------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1}$$
f = (1 - log(x))/(x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = e$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = e$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}$$
Зн. экстремумы в точках:
/ -2\ / -2\
W\e / + 2 -1 - W\e /
(e , ---------------)
/ -2\
W\e / + 2
1 + e Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{W\left(e^{-2}\right) + 2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 80842.4771050108$$
$$x_{2} = 58974.5556724408$$
$$x_{3} = 53277.595217407$$
$$x_{4} = 30854.8197449271$$
$$x_{5} = 61251.1741230861$$
$$x_{6} = 14.0776952721473$$
$$x_{7} = 31908.3179917364$$
$$x_{8} = 63526.1215296872$$
$$x_{9} = 52137.7105866293$$
$$x_{10} = 57835.6946864649$$
$$x_{11} = 35168.7417722255$$
$$x_{12} = 45303.3030084892$$
$$x_{13} = 43031.3546145405$$
$$x_{14} = 27044.246551221$$
$$x_{15} = 32981.438802403$$
$$x_{16} = 28837.6897481409$$
$$x_{17} = 27900.6541396521$$
$$x_{18} = 55557.0692760168$$
$$x_{19} = 48718.6105240553$$
$$x_{20} = 38512.8355013932$$
$$x_{21} = 26319.8313591018$$
$$x_{22} = 41897.8078187192$$
$$x_{23} = 65799.219526873$$
$$x_{24} = 34069.3920714389$$
$$x_{25} = 49858.1013683404$$
$$x_{26} = 60113.0600652617$$
$$x_{27} = 27990.6422930265$$
$$x_{28} = 47579.5216748326$$
$$x_{29} = 25913.3312377247$$
$$x_{30} = 46441.014270724$$
$$x_{31} = 36276.9589199659$$
$$x_{32} = 44166.6459022702$$
$$x_{33} = 25838.8913714532$$
$$x_{34} = 40766.4686824809$$
$$x_{35} = 39637.9080347874$$
$$x_{36} = 62388.8693031981$$
$$x_{37} = 64662.9105736737$$
$$x_{38} = 56696.5169169641$$
$$x_{39} = 50997.8436393117$$
$$x_{40} = 29827.8366330078$$
$$x_{41} = 54417.4070159809$$
$$x_{42} = 37392.1420174007$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{x + 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(2 - 2 i \pi \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{x + 1}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2 - 2 i \pi \right)}$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 14.0776952721473\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[14.0776952721473, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 80842.4771050108$$
$$x_{2} = 58974.5556724408$$
$$x_{3} = 53277.595217407$$
$$x_{4} = 30854.8197449271$$
$$x_{5} = 61251.1741230861$$
$$x_{6} = 14.0776952721473$$
$$x_{7} = 31908.3179917364$$
$$x_{8} = 63526.1215296872$$
$$x_{9} = 52137.7105866293$$
$$x_{10} = 57835.6946864649$$
$$x_{11} = 35168.7417722255$$
$$x_{12} = 45303.3030084892$$
$$x_{13} = 43031.3546145405$$
$$x_{14} = 27044.246551221$$
$$x_{15} = 32981.438802403$$
$$x_{16} = 28837.6897481409$$
$$x_{17} = 27900.6541396521$$
$$x_{18} = 55557.0692760168$$
$$x_{19} = 48718.6105240553$$
$$x_{20} = 38512.8355013932$$
$$x_{21} = 26319.8313591018$$
$$x_{22} = 41897.8078187192$$
$$x_{23} = 65799.219526873$$
$$x_{24} = 34069.3920714389$$
$$x_{25} = 49858.1013683404$$
$$x_{26} = 60113.0600652617$$
$$x_{27} = 27990.6422930265$$
$$x_{28} = 47579.5216748326$$
$$x_{29} = 25913.3312377247$$
$$x_{30} = 46441.014270724$$
$$x_{31} = 36276.9589199659$$
$$x_{32} = 44166.6459022702$$
$$x_{33} = 25838.8913714532$$
$$x_{34} = 40766.4686824809$$
$$x_{35} = 39637.9080347874$$
$$x_{36} = 62388.8693031981$$
$$x_{37} = 64662.9105736737$$
$$x_{38} = 56696.5169169641$$
$$x_{39} = 50997.8436393117$$
$$x_{40} = 29827.8366330078$$
$$x_{41} = 54417.4070159809$$
$$x_{42} = 37392.1420174007$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{x + 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(2 - 2 i \pi \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{x + 1}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2 - 2 i \pi \right)}$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 14.0776952721473\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[14.0776952721473, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 - log(x))/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} = \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} = \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График