Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+(27/x^3)
- x*sin(1)/x
-
log(x)^3/x
-
1/18*(-x^3-9*x^2)
- Интеграл d{x}:
-
1/(x^2+16)
- Производная:
-
1/(x^2+16)
-
Идентичные выражения
- один /(x^ два + шестнадцать)
- 1 делить на (x в квадрате плюс 16)
- один делить на (x в степени два плюс шестнадцать)
- 1/(x2+16)
- 1/x2+16
- 1/(x²+16)
- 1/(x в степени 2+16)
- 1/x^2+16
- 1 разделить на (x^2+16)
-
Похожие выражения
- 1/(x^2-16)
График функции y = 1/(x^2+16)
Решение
Вы ввели
[src]
1
f(x) = 1*-------
2
x + 16
$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}$$
f = 1/(x^2 + 16)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1/16)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 1\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 1\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x^2 + 16), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16} = 1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16} = - \frac{1}{x^{2} + 16}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16} = 1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 16} = - \frac{1}{x^{2} + 16}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График