Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
-
Идентичные выражения
- один / три *x^ три +(двадцать семь - десять)*x^ два - двадцать семь *x+(двадцать семь - двадцать)
- 1 делить на 3 умножить на x в кубе плюс (27 минус 10) умножить на x в квадрате минус 27 умножить на x плюс (27 минус 20)
- один делить на три умножить на x в степени три плюс (двадцать семь минус десять) умножить на x в степени два минус двадцать семь умножить на x плюс (двадцать семь минус двадцать)
- 1/3*x3+(27-10)*x2-27*x+(27-20)
- 1/3*x3+27-10*x2-27*x+27-20
- 1/3*x³+(27-10)*x²-27*x+(27-20)
- 1/3*x в степени 3+(27-10)*x в степени 2-27*x+(27-20)
- 1/3x^3+(27-10)x^2-27x+(27-20)
- 1/3x3+(27-10)x2-27x+(27-20)
- 1/3x3+27-10x2-27x+27-20
- 1/3x^3+27-10x^2-27x+27-20
- 1 разделить на 3*x^3+(27-10)*x^2-27*x+(27-20)
-
Похожие выражения
- 1/3*x^3+(27+10)*x^2-27*x+(27-20)
- 1/3*x^3+(27-10)*x^2-27*x-(27-20)
- 1/3*x^3-(27-10)*x^2-27*x+(27-20)
- 1/3*x^3+(27-10)*x^2-27*x+(27+20)
- 1/3*x^3+(27-10)*x^2+27*x+(27-20)
График функции y = 1/3*x^3+(27-10)*x^2-27*x+(27-20)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x 2
f(x) = -- + (27 - 10)*x - 27*x + 27 - 20
3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27$$
f = x^3/3 + x^2*(27 - 1*10) - 27*x - 1*20 + 27
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -17 - \frac{\sqrt[3]{151524 + 108 \sqrt{3747} i}}{3} - \frac{948}{\sqrt[3]{151524 + 108 \sqrt{3747} i}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.327028416670307$$
$$x_{2} = -52.5490226596538$$
$$x_{3} = 1.22199424298346$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -17 - \frac{\sqrt[3]{151524 + 108 \sqrt{3747} i}}{3} - \frac{948}{\sqrt[3]{151524 + 108 \sqrt{3747} i}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.327028416670307$$
$$x_{2} = -52.5490226596538$$
$$x_{3} = 1.22199424298346$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + 2 x \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -17 + 2 \sqrt{79}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{79} - 17$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -17 + 2 \sqrt{79}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{79} - 17$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{79} - 17\right] \cup \left[-17 + 2 \sqrt{79}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{79} - 17, -17 + 2 \sqrt{79}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + 2 x \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -17 + 2 \sqrt{79}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{79} - 17$$
Зн. экстремумы в точках:
3
/ ____\ 2
____ ____ \-17 + 2*\/ 79 / / ____\
(-17 + 2*\/ 79, - 54*\/ 79 - 20 + ----------------- + \-17 + 2*\/ 79 / *(-10 + 27) + 486)
3 3
/ ____ \ 2
____ \- 2*\/ 79 - 17/ ____ / ____ \
(- 2*\/ 79 - 17, ------------------ - 20 + 54*\/ 79 + 486 + (-10 + 27)*\- 2*\/ 79 - 17/ )
3 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -17 + 2 \sqrt{79}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{79} - 17$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{79} - 17\right] \cup \left[-17 + 2 \sqrt{79}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{79} - 17, -17 + 2 \sqrt{79}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x + 17\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -17$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-17, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -17\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x + 17\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -17$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-17, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -17\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + (27 - 1*10)*x^2 - 27*x + 27 - 1*20, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27 = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) + 27 x - 20 + 27$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27 = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 27 + 20$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27 = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) + 27 x - 20 + 27$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 20 + 27 = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} \cdot \left(\left(-1\right) 10 + 27\right) - 27 x - 27 + 20$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График