Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
- Производная:
- 1/3*x^3-x^2+1/3
-
Идентичные выражения
- один / три *x^ три -x^ два + один / три
- 1 делить на 3 умножить на x в кубе минус x в квадрате плюс 1 делить на 3
- один делить на три умножить на x в степени три минус x в степени два плюс один делить на три
- 1/3*x3-x2+1/3
- 1/3*x³-x²+1/3
- 1/3*x в степени 3-x в степени 2+1/3
- 1/3x^3-x^2+1/3
- 1/3x3-x2+1/3
- 1 разделить на 3*x^3-x^2+1 разделить на 3
-
Похожие выражения
- 1/3*x^3-x^2-1/3
- 1/3*x^3+x^2+1/3
График функции y = 1/3*x^3-x^2+1/3
Решение
Вы ввели
[src]
3
x 2 1
f(x) = -- - x + -
3 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}$$
f = x^3/3 - x^2 + 1/3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.652703644666139$$
$$x_{2} = 2.87938524157182$$
$$x_{3} = -0.532088886237956$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.652703644666139$$
$$x_{2} = 2.87938524157182$$
$$x_{3} = -0.532088886237956$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1/3)
(2, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - x^2 + 1/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3} = - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - \frac{1}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3} = - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - \frac{1}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График