Господин Экзамен

Другие калькуляторы

1/4*x^4-3/2*x^2

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • 2*x^5 2*x^5
  • (x^2+9)/(x+4) (x^2+9)/(x+4)
  • e^sin(x) e^sin(x)
  • x^2/4+x/16+1/4 x^2/4+x/16+1/4

  • Идентичные выражения

  • один / четыре *x^ четыре - три / два *x^ два
  • 1 делить на 4 умножить на x в степени 4 минус 3 делить на 2 умножить на x в квадрате
  • один делить на четыре умножить на x в степени четыре минус три делить на два умножить на x в степени два
  • 1/4*x4-3/2*x2
  • 1/4*x⁴-3/2*x²
  • 1/4*x в степени 4-3/2*x в степени 2
  • 1/4x^4-3/2x^2
  • 1/4x4-3/2x2
  • 1 разделить на 4*x^4-3 разделить на 2*x^2

  • Похожие выражения

  • 1/4*(x^4)-3/2*(x^2)+2
  • 1/4*x^4+3/2*x^2
Построение графика функции/ 1/4*x^4-3/2*x^2

График функции y = 1/4*x^4-3/2*x^2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        4      2
       x    3*x 
f(x) = -- - ----
       4     2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}$$ 
f = x^4/4 - 3*x^2/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.44948974278318$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2.44948974278318$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 - 3*x^2/2.
$$\frac{0^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{2}}{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} - 3 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

    ___       
(-\/ 3, -9/4)

   ___       
(\/ 3, -9/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - 3*x^2/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2}$$
- Да
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 1/4*x^4-3/2*x^2
    © Господин Экзамен – Калькулятор