Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^(1/pi)-1
-
-2*x^2+8*x
-
2*log(2*x)
- sin(x)/x
- Производная:
-
1/4*x^4-1/3*x^3-x^2
-
Идентичные выражения
- один / четыре *x^ четыре - один / три *x^ три -x^ два
- 1 делить на 4 умножить на x в степени 4 минус 1 делить на 3 умножить на x в кубе минус x в квадрате
- один делить на четыре умножить на x в степени четыре минус один делить на три умножить на x в степени три минус x в степени два
- 1/4*x4-1/3*x3-x2
- 1/4*x⁴-1/3*x³-x²
- 1/4*x в степени 4-1/3*x в степени 3-x в степени 2
- 1/4x^4-1/3x^3-x^2
- 1/4x4-1/3x3-x2
- 1 разделить на 4*x^4-1 разделить на 3*x^3-x^2
-
Похожие выражения
- 1/4*x^4+1/3*x^3-x^2
- 1/4*x^4-1/3*x^3+x^2
График функции y = 1/4*x^4-1/3*x^3-x^2
Решение
Вы ввели
[src]
4 3
x x 2
f(x) = -- - -- - x
4 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$$
f = x^4/4 - x^3/3 - x^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{10}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.77485177344559$$
$$x_{3} = -1.44151844011225$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{10}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.77485177344559$$
$$x_{3} = -1.44151844011225$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -5/12)
(0, 0)
(2, -8/3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - x^3/3 - x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} = - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} = - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График