Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x-1)/(x-1)^2
-
1/x*log(x)
- asin(2*x/(1+x^2))
- (sin(x))/(sin(x+pi/4))
-
Идентичные выражения
- log(x)/(x- три)
- логарифм от (x) делить на (x минус 3)
- логарифм от (x) делить на (x минус три)
- logx/x-3
- log(x) разделить на (x-3)
-
Похожие выражения
- 3*log(x/(x-3))
- 3*log((x)/(x-3))-1
- log(x)/(x+3)
График функции y = log(x)/(x-3)
Решение
Вы ввели
[src]
log(x)
f(x) = ------
x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3}$$
f = log(x)/(x - 1*3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 3\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 3\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 50347.0673124337$$
$$x_{2} = 40278.3350849723$$
$$x_{3} = 48118.7387480513$$
$$x_{4} = 42525.5937269385$$
$$x_{5} = 30076.0389003918$$
$$x_{6} = 39152.3208591536$$
$$x_{7} = 44766.9165649728$$
$$x_{8} = 52570.8056479588$$
$$x_{9} = 25480.3194745925$$
$$x_{10} = 57005.6362266551$$
$$x_{11} = 1$$
$$x_{12} = 34630.6007169357$$
$$x_{13} = 49233.4962040459$$
$$x_{14} = 54790.2425898744$$
$$x_{15} = 24323.6036400513$$
$$x_{16} = 45885.4948798811$$
$$x_{17} = 26633.7032617003$$
$$x_{18} = 32357.8690850874$$
$$x_{19} = 47002.7531356694$$
$$x_{20} = 38024.6219578657$$
$$x_{21} = 31218.156316749$$
$$x_{22} = 27783.985222538$$
$$x_{23} = 36895.1601110421$$
$$x_{24} = 28931.3696743938$$
$$x_{25} = 55898.429763926$$
$$x_{26} = 51459.4914272777$$
$$x_{27} = 53681.0449986683$$
$$x_{28} = 33495.3102825779$$
$$x_{29} = 35763.8504539988$$
$$x_{30} = 43646.9675650811$$
$$x_{31} = 41402.7370111166$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 50347.0673124337$$
$$x_{2} = 40278.3350849723$$
$$x_{3} = 48118.7387480513$$
$$x_{4} = 42525.5937269385$$
$$x_{5} = 30076.0389003918$$
$$x_{6} = 39152.3208591536$$
$$x_{7} = 44766.9165649728$$
$$x_{8} = 52570.8056479588$$
$$x_{9} = 25480.3194745925$$
$$x_{10} = 57005.6362266551$$
$$x_{11} = 1$$
$$x_{12} = 34630.6007169357$$
$$x_{13} = 49233.4962040459$$
$$x_{14} = 54790.2425898744$$
$$x_{15} = 24323.6036400513$$
$$x_{16} = 45885.4948798811$$
$$x_{17} = 26633.7032617003$$
$$x_{18} = 32357.8690850874$$
$$x_{19} = 47002.7531356694$$
$$x_{20} = 38024.6219578657$$
$$x_{21} = 31218.156316749$$
$$x_{22} = 27783.985222538$$
$$x_{23} = 36895.1601110421$$
$$x_{24} = 28931.3696743938$$
$$x_{25} = 55898.429763926$$
$$x_{26} = 51459.4914272777$$
$$x_{27} = 53681.0449986683$$
$$x_{28} = 33495.3102825779$$
$$x_{29} = 35763.8504539988$$
$$x_{30} = 43646.9675650811$$
$$x_{31} = 41402.7370111166$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x - 1*3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График