Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3+9*x^2+24*x+18
-
1/(atan(x))
-
(x-1)*(x+1)
-
log(x+6)
- Производная:
-
sqrt(x)/(x-1)
- Интеграл d{x}:
- sqrt(x)/(x-1)
-
Идентичные выражения
- sqrt(x)/(x- один)
- квадратный корень из (x) делить на (x минус 1)
- квадратный корень из (x) делить на (x минус один)
- √(x)/(x-1)
- sqrtx/x-1
- sqrt(x) разделить на (x-1)
-
Похожие выражения
- sqrt(x)/(x+1)
График функции y = sqrt(x)/(x-1)
Решение
Вы ввели
[src]
___
\/ x
f(x) = -----
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$$
f = sqrt(x)/(x - 1*1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
I
(-1, ------)
-1 - 1 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x)/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{- x}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = - \frac{\sqrt{- x}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{- x}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = - \frac{\sqrt{- x}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График