Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
sqrt(2)-x
-
(x^2+27)/(x+3)
-
atan(2/(x-1))
-
sqrt(x^3-x)
-
Идентичные выражения
- cos(x)^(два)+cos(x)
- косинус от (x) в степени (2) плюс косинус от (x)
- косинус от (x) в степени (два) плюс косинус от (x)
- cos(x)(2)+cos(x)
- cosx2+cosx
- cosx^2+cosx
-
Похожие выражения
- cos(x)^(2)-cos(x)
- cosx^(2)+cosx
График функции y = cos(x)^(2)+cos(x)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = cos (x) + cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
f = cos(x)^2 + cos(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{2} = -89.5353906273091$$
$$x_{3} = -61.261056745001$$
$$x_{4} = 86.3937979737193$$
$$x_{5} = 32.9867228626928$$
$$x_{6} = 9.42477812420882$$
$$x_{7} = -23.5619449019235$$
$$x_{8} = -91.1061870617513$$
$$x_{9} = 42.4115008234622$$
$$x_{10} = -9.42477811540647$$
$$x_{11} = -114.668131856027$$
$$x_{12} = 98.9601685880785$$
$$x_{13} = 84.8230022546705$$
$$x_{14} = -7.85398163397448$$
$$x_{15} = -26.7035375555132$$
$$x_{16} = -67.5442420521806$$
$$x_{17} = -54.9778714378214$$
$$x_{18} = 47.1238891910616$$
$$x_{19} = -58.1194640914112$$
$$x_{20} = -32.9867228626928$$
$$x_{21} = -51.8362787842316$$
$$x_{22} = 28.2743338652235$$
$$x_{23} = 40.8407043427125$$
$$x_{24} = 3.14159237966678$$
$$x_{25} = 45.553093477052$$
$$x_{26} = 78.5398161960398$$
$$x_{27} = 59.6902605835311$$
$$x_{28} = 73.8274273593601$$
$$x_{29} = -92.6769832808989$$
$$x_{30} = -84.8230020186947$$
$$x_{31} = 47.1238905156601$$
$$x_{32} = 20.4203522483337$$
$$x_{33} = -80.1106126665397$$
$$x_{34} = 80.1106126665397$$
$$x_{35} = 29.845130209103$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = -3.1415927960834$$
$$x_{38} = -17.2787595947439$$
$$x_{39} = 84.8230014843127$$
$$x_{40} = 17.2787595947439$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = 95.8185759344887$$
$$x_{43} = -10.9955742875643$$
$$x_{44} = 34.5575190401242$$
$$x_{45} = -4.71238898038469$$
$$x_{46} = -34.5575190186597$$
$$x_{47} = 91.1061877275391$$
$$x_{48} = 21.9911485851865$$
$$x_{49} = -64.4026493985908$$
$$x_{50} = 7.85398163397448$$
$$x_{51} = -97.3893724252203$$
$$x_{52} = -21.9911485864616$$
$$x_{53} = 83.2522053201295$$
$$x_{54} = -45.553093477052$$
$$x_{55} = -28.2743337271955$$
$$x_{56} = 76.9690200129499$$
$$x_{57} = -73.8274273593601$$
$$x_{58} = 15.7079634283821$$
$$x_{59} = 26.7035375555132$$
$$x_{60} = 54.9778714378214$$
$$x_{61} = 14.1371669411541$$
$$x_{62} = -72.2566308831918$$
$$x_{63} = 10.9955742875643$$
$$x_{64} = -14.1371669411541$$
$$x_{65} = 3.14159255416701$$
$$x_{66} = -70.6858347057703$$
$$x_{67} = -47.1238899312794$$
$$x_{68} = -48.6946861306418$$
$$x_{69} = 64.4026493985908$$
$$x_{70} = -78.5398161850973$$
$$x_{71} = 97.3893724028077$$
$$x_{72} = 39.2699081698724$$
$$x_{73} = -40.8407049448264$$
$$x_{74} = -78.5398161632939$$
$$x_{75} = -76.9690200129499$$
$$x_{76} = -9.42477809807754$$
$$x_{77} = 65.9734457528109$$
$$x_{78} = 58.1194640914112$$
$$x_{79} = -15.7079632964512$$
$$x_{80} = -53.40707527053$$
$$x_{81} = 23.5619449019235$$
$$x_{82} = -98.9601685880785$$
$$x_{83} = -20.4203522483337$$
$$x_{84} = 61.261056745001$$
$$x_{85} = -36.1283155162826$$
$$x_{86} = -65.9734457651102$$
$$x_{87} = 70.6858347057703$$
$$x_{88} = -21.9911485825594$$
$$x_{89} = 91.1061864055267$$
$$x_{90} = -59.6902604574727$$
$$x_{91} = 51.8362787842316$$
$$x_{92} = 67.5442420521806$$
$$x_{93} = 48.6946861306418$$
$$x_{94} = -29.845130209103$$
$$x_{95} = 53.407075264892$$
$$x_{96} = 72.2566310277204$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{2} = -89.5353906273091$$
$$x_{3} = -61.261056745001$$
$$x_{4} = 86.3937979737193$$
$$x_{5} = 32.9867228626928$$
$$x_{6} = 9.42477812420882$$
$$x_{7} = -23.5619449019235$$
$$x_{8} = -91.1061870617513$$
$$x_{9} = 42.4115008234622$$
$$x_{10} = -9.42477811540647$$
$$x_{11} = -114.668131856027$$
$$x_{12} = 98.9601685880785$$
$$x_{13} = 84.8230022546705$$
$$x_{14} = -7.85398163397448$$
$$x_{15} = -26.7035375555132$$
$$x_{16} = -67.5442420521806$$
$$x_{17} = -54.9778714378214$$
$$x_{18} = 47.1238891910616$$
$$x_{19} = -58.1194640914112$$
$$x_{20} = -32.9867228626928$$
$$x_{21} = -51.8362787842316$$
$$x_{22} = 28.2743338652235$$
$$x_{23} = 40.8407043427125$$
$$x_{24} = 3.14159237966678$$
$$x_{25} = 45.553093477052$$
$$x_{26} = 78.5398161960398$$
$$x_{27} = 59.6902605835311$$
$$x_{28} = 73.8274273593601$$
$$x_{29} = -92.6769832808989$$
$$x_{30} = -84.8230020186947$$
$$x_{31} = 47.1238905156601$$
$$x_{32} = 20.4203522483337$$
$$x_{33} = -80.1106126665397$$
$$x_{34} = 80.1106126665397$$
$$x_{35} = 29.845130209103$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = -3.1415927960834$$
$$x_{38} = -17.2787595947439$$
$$x_{39} = 84.8230014843127$$
$$x_{40} = 17.2787595947439$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = 95.8185759344887$$
$$x_{43} = -10.9955742875643$$
$$x_{44} = 34.5575190401242$$
$$x_{45} = -4.71238898038469$$
$$x_{46} = -34.5575190186597$$
$$x_{47} = 91.1061877275391$$
$$x_{48} = 21.9911485851865$$
$$x_{49} = -64.4026493985908$$
$$x_{50} = 7.85398163397448$$
$$x_{51} = -97.3893724252203$$
$$x_{52} = -21.9911485864616$$
$$x_{53} = 83.2522053201295$$
$$x_{54} = -45.553093477052$$
$$x_{55} = -28.2743337271955$$
$$x_{56} = 76.9690200129499$$
$$x_{57} = -73.8274273593601$$
$$x_{58} = 15.7079634283821$$
$$x_{59} = 26.7035375555132$$
$$x_{60} = 54.9778714378214$$
$$x_{61} = 14.1371669411541$$
$$x_{62} = -72.2566308831918$$
$$x_{63} = 10.9955742875643$$
$$x_{64} = -14.1371669411541$$
$$x_{65} = 3.14159255416701$$
$$x_{66} = -70.6858347057703$$
$$x_{67} = -47.1238899312794$$
$$x_{68} = -48.6946861306418$$
$$x_{69} = 64.4026493985908$$
$$x_{70} = -78.5398161850973$$
$$x_{71} = 97.3893724028077$$
$$x_{72} = 39.2699081698724$$
$$x_{73} = -40.8407049448264$$
$$x_{74} = -78.5398161632939$$
$$x_{75} = -76.9690200129499$$
$$x_{76} = -9.42477809807754$$
$$x_{77} = 65.9734457528109$$
$$x_{78} = 58.1194640914112$$
$$x_{79} = -15.7079632964512$$
$$x_{80} = -53.40707527053$$
$$x_{81} = 23.5619449019235$$
$$x_{82} = -98.9601685880785$$
$$x_{83} = -20.4203522483337$$
$$x_{84} = 61.261056745001$$
$$x_{85} = -36.1283155162826$$
$$x_{86} = -65.9734457651102$$
$$x_{87} = 70.6858347057703$$
$$x_{88} = -21.9911485825594$$
$$x_{89} = 91.1061864055267$$
$$x_{90} = -59.6902604574727$$
$$x_{91} = 51.8362787842316$$
$$x_{92} = 67.5442420521806$$
$$x_{93} = 48.6946861306418$$
$$x_{94} = -29.845130209103$$
$$x_{95} = 53.407075264892$$
$$x_{96} = 72.2566310277204$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2 \pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)
-2*pi (------, -1/4) 3
2*pi (----, -1/4) 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2 \pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^2 + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График