Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^4/(x^3+1)
- x^3/3+x^2-15*x
- -2/(x+3)
-
x-20
- Производная:
-
cos(x)^(2)-cos(x)
-
Идентичные выражения
- cos(x)^(два)-cos(x)
- косинус от (x) в степени (2) минус косинус от (x)
- косинус от (x) в степени (два) минус косинус от (x)
- cos(x)(2)-cos(x)
- cosx2-cosx
- cosx^2-cosx
-
Похожие выражения
- cos(x)^(2)+cos(x)
- cosx^(2)-cosx
График функции y = cos(x)^(2)-cos(x)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = cos (x) - cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
f = cos(x)^2 - cos(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{2} = -89.5353906273091$$
$$x_{3} = 86.3937979737193$$
$$x_{4} = 31.4159266948554$$
$$x_{5} = 32.9867228626928$$
$$x_{6} = -23.5619449019235$$
$$x_{7} = -62.8318534973011$$
$$x_{8} = 42.4115008234622$$
$$x_{9} = 25.1327408583892$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = 37.6991120060109$$
$$x_{12} = 12.5663704623094$$
$$x_{13} = 98.9601685880785$$
$$x_{14} = -7.85398163397448$$
$$x_{15} = -39.2699081698724$$
$$x_{16} = -26.7035375555132$$
$$x_{17} = -67.5442420521806$$
$$x_{18} = -54.9778714378214$$
$$x_{19} = -56.5486675907774$$
$$x_{20} = -94.2477794613449$$
$$x_{21} = -32.9867228626928$$
$$x_{22} = 100.530964774136$$
$$x_{23} = 69.1150385134118$$
$$x_{24} = -58.1194640914112$$
$$x_{25} = 92.6769832808989$$
$$x_{26} = -51.8362787842316$$
$$x_{27} = 87.9645943356049$$
$$x_{28} = 50.2654824463558$$
$$x_{29} = 45.553093477052$$
$$x_{30} = -87.964594358935$$
$$x_{31} = -31.4159266930206$$
$$x_{32} = -83.2522053201295$$
$$x_{33} = 75.3982238342404$$
$$x_{34} = 73.8274273593601$$
$$x_{35} = -92.6769832808989$$
$$x_{36} = 20.4203522483337$$
$$x_{37} = -80.1106126665397$$
$$x_{38} = 80.1106126665397$$
$$x_{39} = 29.845130209103$$
$$x_{40} = -1.5707963267949$$
$$x_{41} = -17.2787595947439$$
$$x_{42} = 17.2787595947439$$
$$x_{43} = 62.8318529132021$$
$$x_{44} = 36.1283155162826$$
$$x_{45} = 56.5486676180351$$
$$x_{46} = -25.1327413641924$$
$$x_{47} = 95.8185759344887$$
$$x_{48} = 81.6814091609407$$
$$x_{49} = -10.9955742875643$$
$$x_{50} = -4.71238898038469$$
$$x_{51} = 25.1327418085792$$
$$x_{52} = -37.6991118770355$$
$$x_{53} = 7.85398163397448$$
$$x_{54} = -42.4115008234622$$
$$x_{55} = 6.28318528429551$$
$$x_{56} = 83.2522053201295$$
$$x_{57} = -43.9822971746199$$
$$x_{58} = -45.553093477052$$
$$x_{59} = 4.71238898038469$$
$$x_{60} = 76.9690200129499$$
$$x_{61} = -73.8274273593601$$
$$x_{62} = 26.7035375555132$$
$$x_{63} = -75.3982238479311$$
$$x_{64} = 54.9778714378214$$
$$x_{65} = -6.28318514935383$$
$$x_{66} = 14.1371669411541$$
$$x_{67} = 10.9955742875643$$
$$x_{68} = -14.1371669411541$$
$$x_{69} = -389.557489134924$$
$$x_{70} = -69.115038497193$$
$$x_{71} = -70.6858347057703$$
$$x_{72} = -50.2654823051418$$
$$x_{73} = -48.6946861306418$$
$$x_{74} = 64.4026493985908$$
$$x_{75} = -12.5663704469816$$
$$x_{76} = 43.9822971693881$$
$$x_{77} = 18.8495557729205$$
$$x_{78} = 39.2699081698724$$
$$x_{79} = 69.1150379836781$$
$$x_{80} = -76.9690200129499$$
$$x_{81} = 89.5353906273091$$
$$x_{82} = 1.5707963267949$$
$$x_{83} = 58.1194640914112$$
$$x_{84} = -86.3937979737193$$
$$x_{85} = -100.530964736174$$
$$x_{86} = -18.8495562409837$$
$$x_{87} = 23.5619449019235$$
$$x_{88} = -98.9601685880785$$
$$x_{89} = 94.2477796093526$$
$$x_{90} = -20.4203522483337$$
$$x_{91} = 61.261056745001$$
$$x_{92} = -36.1283155162826$$
$$x_{93} = 70.6858347057703$$
$$x_{94} = -81.6814090377756$$
$$x_{95} = 51.8362787842316$$
$$x_{96} = 48.6946861306418$$
$$x_{97} = -29.845130209103$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759344887$$
$$x_{2} = -89.5353906273091$$
$$x_{3} = 86.3937979737193$$
$$x_{4} = 31.4159266948554$$
$$x_{5} = 32.9867228626928$$
$$x_{6} = -23.5619449019235$$
$$x_{7} = -62.8318534973011$$
$$x_{8} = 42.4115008234622$$
$$x_{9} = 25.1327408583892$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = 37.6991120060109$$
$$x_{12} = 12.5663704623094$$
$$x_{13} = 98.9601685880785$$
$$x_{14} = -7.85398163397448$$
$$x_{15} = -39.2699081698724$$
$$x_{16} = -26.7035375555132$$
$$x_{17} = -67.5442420521806$$
$$x_{18} = -54.9778714378214$$
$$x_{19} = -56.5486675907774$$
$$x_{20} = -94.2477794613449$$
$$x_{21} = -32.9867228626928$$
$$x_{22} = 100.530964774136$$
$$x_{23} = 69.1150385134118$$
$$x_{24} = -58.1194640914112$$
$$x_{25} = 92.6769832808989$$
$$x_{26} = -51.8362787842316$$
$$x_{27} = 87.9645943356049$$
$$x_{28} = 50.2654824463558$$
$$x_{29} = 45.553093477052$$
$$x_{30} = -87.964594358935$$
$$x_{31} = -31.4159266930206$$
$$x_{32} = -83.2522053201295$$
$$x_{33} = 75.3982238342404$$
$$x_{34} = 73.8274273593601$$
$$x_{35} = -92.6769832808989$$
$$x_{36} = 20.4203522483337$$
$$x_{37} = -80.1106126665397$$
$$x_{38} = 80.1106126665397$$
$$x_{39} = 29.845130209103$$
$$x_{40} = -1.5707963267949$$
$$x_{41} = -17.2787595947439$$
$$x_{42} = 17.2787595947439$$
$$x_{43} = 62.8318529132021$$
$$x_{44} = 36.1283155162826$$
$$x_{45} = 56.5486676180351$$
$$x_{46} = -25.1327413641924$$
$$x_{47} = 95.8185759344887$$
$$x_{48} = 81.6814091609407$$
$$x_{49} = -10.9955742875643$$
$$x_{50} = -4.71238898038469$$
$$x_{51} = 25.1327418085792$$
$$x_{52} = -37.6991118770355$$
$$x_{53} = 7.85398163397448$$
$$x_{54} = -42.4115008234622$$
$$x_{55} = 6.28318528429551$$
$$x_{56} = 83.2522053201295$$
$$x_{57} = -43.9822971746199$$
$$x_{58} = -45.553093477052$$
$$x_{59} = 4.71238898038469$$
$$x_{60} = 76.9690200129499$$
$$x_{61} = -73.8274273593601$$
$$x_{62} = 26.7035375555132$$
$$x_{63} = -75.3982238479311$$
$$x_{64} = 54.9778714378214$$
$$x_{65} = -6.28318514935383$$
$$x_{66} = 14.1371669411541$$
$$x_{67} = 10.9955742875643$$
$$x_{68} = -14.1371669411541$$
$$x_{69} = -389.557489134924$$
$$x_{70} = -69.115038497193$$
$$x_{71} = -70.6858347057703$$
$$x_{72} = -50.2654823051418$$
$$x_{73} = -48.6946861306418$$
$$x_{74} = 64.4026493985908$$
$$x_{75} = -12.5663704469816$$
$$x_{76} = 43.9822971693881$$
$$x_{77} = 18.8495557729205$$
$$x_{78} = 39.2699081698724$$
$$x_{79} = 69.1150379836781$$
$$x_{80} = -76.9690200129499$$
$$x_{81} = 89.5353906273091$$
$$x_{82} = 1.5707963267949$$
$$x_{83} = 58.1194640914112$$
$$x_{84} = -86.3937979737193$$
$$x_{85} = -100.530964736174$$
$$x_{86} = -18.8495562409837$$
$$x_{87} = 23.5619449019235$$
$$x_{88} = -98.9601685880785$$
$$x_{89} = 94.2477796093526$$
$$x_{90} = -20.4203522483337$$
$$x_{91} = 61.261056745001$$
$$x_{92} = -36.1283155162826$$
$$x_{93} = 70.6858347057703$$
$$x_{94} = -81.6814090377756$$
$$x_{95} = 51.8362787842316$$
$$x_{96} = 48.6946861306418$$
$$x_{97} = -29.845130209103$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
-pi (----, -1/4) 3
pi (--, -1/4) 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^2 - cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График