Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(6*x^2-12*x)
-
cos(x)/cos(2*x)
-
sqrt(x^2+4*x+6)-x
-
4/(sqrt(x^2+16))
- Интеграл d{x}:
- cos(x)/cos(2*x)
- Производная:
-
cos(x)/cos(2*x)
- Предел функции:
-
cos(x)/cos(2*x)
-
Идентичные выражения
- cos(x)/cos(два *x)
- косинус от (x) делить на косинус от (2 умножить на x)
- косинус от (x) делить на косинус от (два умножить на x)
- cos(x)/cos(2x)
- cosx/cos2x
- cos(x) разделить на cos(2*x)
-
Похожие выражения
- cosx/cos(2*x)
График функции y = cos(x)/cos(2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
cos(x)
f(x) = --------
cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
f = cos(x)/cos(2*x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
$$x_{1} = 0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -73.8274273593601$$
$$x_{2} = 20.4203522483337$$
$$x_{3} = 67.5442420521806$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 26.7035375555132$$
$$x_{6} = -20.4203522483337$$
$$x_{7} = 61.261056745001$$
$$x_{8} = 64.4026493985908$$
$$x_{9} = 1.5707963267949$$
$$x_{10} = -7.85398163397448$$
$$x_{11} = 14.1371669411541$$
$$x_{12} = 42.4115008234622$$
$$x_{13} = -98.9601685880785$$
$$x_{14} = 161.792021659874$$
$$x_{15} = 73.8274273593601$$
$$x_{16} = -10.9955742875643$$
$$x_{17} = -64.4026493985908$$
$$x_{18} = 45.553093477052$$
$$x_{19} = -108.384946548848$$
$$x_{20} = 95.8185759344887$$
$$x_{21} = -23.5619449019235$$
$$x_{22} = -95.8185759344887$$
$$x_{23} = -26.7035375555132$$
$$x_{24} = -58.1194640914112$$
$$x_{25} = -14.1371669411541$$
$$x_{26} = 48.6946861306418$$
$$x_{27} = 4.71238898038469$$
$$x_{28} = 23.5619449019235$$
$$x_{29} = -325.154839646544$$
$$x_{30} = -51.8362787842316$$
$$x_{31} = 70.6858347057703$$
$$x_{32} = -36.1283155162826$$
$$x_{33} = -45.553093477052$$
$$x_{34} = 29.845130209103$$
$$x_{35} = -48.6946861306418$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = -32.9867228626928$$
$$x_{38} = 89.5353906273091$$
$$x_{39} = 76.9690200129499$$
$$x_{40} = -61.261056745001$$
$$x_{41} = 39.2699081698724$$
$$x_{42} = -67.5442420521806$$
$$x_{43} = -80.1106126665397$$
$$x_{44} = 86.3937979737193$$
$$x_{45} = -17.2787595947439$$
$$x_{46} = -42.4115008234622$$
$$x_{47} = 92.6769832808989$$
$$x_{48} = -130.376095123976$$
$$x_{49} = 58.1194640914112$$
$$x_{50} = -89.5353906273091$$
$$x_{51} = 7.85398163397448$$
$$x_{52} = 80.1106126665397$$
$$x_{53} = 51.8362787842316$$
$$x_{54} = -83.2522053201295$$
$$x_{55} = 234.04865269244$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
$$x_{57} = 36.1283155162826$$
$$x_{58} = -39.2699081698724$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -73.8274273593601$$
$$x_{2} = 20.4203522483337$$
$$x_{3} = 67.5442420521806$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 26.7035375555132$$
$$x_{6} = -20.4203522483337$$
$$x_{7} = 61.261056745001$$
$$x_{8} = 64.4026493985908$$
$$x_{9} = 1.5707963267949$$
$$x_{10} = -7.85398163397448$$
$$x_{11} = 14.1371669411541$$
$$x_{12} = 42.4115008234622$$
$$x_{13} = -98.9601685880785$$
$$x_{14} = 161.792021659874$$
$$x_{15} = 73.8274273593601$$
$$x_{16} = -10.9955742875643$$
$$x_{17} = -64.4026493985908$$
$$x_{18} = 45.553093477052$$
$$x_{19} = -108.384946548848$$
$$x_{20} = 95.8185759344887$$
$$x_{21} = -23.5619449019235$$
$$x_{22} = -95.8185759344887$$
$$x_{23} = -26.7035375555132$$
$$x_{24} = -58.1194640914112$$
$$x_{25} = -14.1371669411541$$
$$x_{26} = 48.6946861306418$$
$$x_{27} = 4.71238898038469$$
$$x_{28} = 23.5619449019235$$
$$x_{29} = -325.154839646544$$
$$x_{30} = -51.8362787842316$$
$$x_{31} = 70.6858347057703$$
$$x_{32} = -36.1283155162826$$
$$x_{33} = -45.553093477052$$
$$x_{34} = 29.845130209103$$
$$x_{35} = -48.6946861306418$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = -32.9867228626928$$
$$x_{38} = 89.5353906273091$$
$$x_{39} = 76.9690200129499$$
$$x_{40} = -61.261056745001$$
$$x_{41} = 39.2699081698724$$
$$x_{42} = -67.5442420521806$$
$$x_{43} = -80.1106126665397$$
$$x_{44} = 86.3937979737193$$
$$x_{45} = -17.2787595947439$$
$$x_{46} = -42.4115008234622$$
$$x_{47} = 92.6769832808989$$
$$x_{48} = -130.376095123976$$
$$x_{49} = 58.1194640914112$$
$$x_{50} = -89.5353906273091$$
$$x_{51} = 7.85398163397448$$
$$x_{52} = 80.1106126665397$$
$$x_{53} = 51.8362787842316$$
$$x_{54} = -83.2522053201295$$
$$x_{55} = 234.04865269244$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
$$x_{57} = 36.1283155162826$$
$$x_{58} = -39.2699081698724$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
(pi, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
$$x_{1} = 0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)/cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
- Да
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
- Да
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График