Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(12*x)/(9+x^2)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (12*x)/(9+x^2) (12*x)/(9+x^2)
  • 8*cos(x)+sin(7*x)-16*x 8*cos(x)+sin(7*x)-16*x
  • x+(1/(x-1)) x+(1/(x-1))
  • sqrt(y) sqrt(y)
  • Производная:
  • (12*x)/(9+x^2) (12*x)/(9+x^2)

  • Идентичные выражения

  • (двенадцать *x)/(девять +x^ два)
  • (12 умножить на x) делить на (9 плюс x в квадрате )
  • (двенадцать умножить на x) делить на (девять плюс x в степени два)
  • (12*x)/(9+x2)
  • 12*x/9+x2
  • (12*x)/(9+x²)
  • (12*x)/(9+x в степени 2)
  • (12x)/(9+x^2)
  • (12x)/(9+x2)
  • 12x/9+x2
  • 12x/9+x^2
  • (12*x) разделить на (9+x^2)

  • Похожие выражения

  • 12*x/(9+x^2)
  • 12*x/(9+x)^2
  • (12*x)/(9-x^2)
Построение графика функции/ (12*x)/(9+x^2)

График функции y = (12*x)/(9+x^2)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        12*x 
f(x) = ------
            2
       9 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{12 x}{x^{2} + 9}$$ 
f = 12*x/(x^2 + 9)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{12 x}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 12*x/(9 + x^2).
$$12 \cdot 0 \cdot \frac{1}{0^{2} + 9}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{24 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{12}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, -2)

(3, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{24 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 3\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 3 \sqrt{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 12*x/(9 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{12 x}{x^{2} + 9} = - \frac{12 x}{x^{2} + 9}$$
- Нет
$$\frac{12 x}{x^{2} + 9} = \frac{12 x}{x^{2} + 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = (12*x)/(9+x^2)
    © Господин Экзамен – Калькулятор