Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел log(1+x^2)
- Предел cos(x^2)
- Предел atan(x^3)
- Предел sin(x^3)/x^2
- Производная:
-
12*x/(9+x^2)
- График функции y =:
- 12*x/(9+x^2)
-
Идентичные выражения
- двенадцать *x/(девять +x^ два)
- 12 умножить на x делить на (9 плюс x в квадрате )
- двенадцать умножить на x делить на (девять плюс x в степени два)
- 12*x/(9+x2)
- 12*x/9+x2
- 12*x/(9+x²)
- 12*x/(9+x в степени 2)
- 12x/(9+x^2)
- 12x/(9+x2)
- 12x/9+x2
- 12x/9+x^2
- 12*x разделить на (9+x^2)
-
Похожие выражения
- 12*x/(9-x^2)
-
Что Вы имели ввиду?
- 12*x/(9 + x^2)
- 12*x*2/(9 + x)
- 12*x/((9 + x)^2)
- 12*x/9 + x^2
- 12*x/(9 + x^2)
- 12*x*2/(9 + x)
- 12*x/9 + x^2
Вы ввели:
12*x/(9+x^2)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции 12*x/(9+x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 12*x \
lim |------|
x->oo| 2|
\9 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$
Limit(12*x/(9 + x^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 \cdot \frac{1}{x}}{1 + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 \cdot \frac{1}{x}}{1 + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{12 u}{9 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$12 \cdot 0 \cdot \frac{1}{9 \cdot 0^{2} + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 \cdot \frac{1}{x}}{1 + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 \cdot \frac{1}{x}}{1 + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{12 u}{9 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$12 \cdot 0 \cdot \frac{1}{9 \cdot 0^{2} + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 x\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 9\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 x}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 x\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 9\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 x}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = \frac{6}{5}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = \frac{6}{5}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = \frac{6}{5}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = \frac{6}{5}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 x}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
График