Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3-3*x^2-72*x+9
-
6/3-x
-
2^x*cos(x)
-
4*sin(x)
- Производная:
-
2^x*cos(x)
- Интеграл d{x}:
-
2^x*cos(x)
-
Идентичные выражения
- два ^x*cos(x)
- 2 в степени x умножить на косинус от (x)
- два в степени x умножить на косинус от (x)
- 2x*cos(x)
- 2x*cosx
- 2^xcos(x)
- 2xcos(x)
- 2xcosx
- 2^xcosx
-
Похожие выражения
- 2^x*cosx
График функции y = 2^x*cos(x)
Решение
Вы ввели
[src]
x f(x) = 2 *cos(x)
$$f{\left(x \right)} = 2^{x} \cos{\left(x \right)}$$
f = 2^x*cos(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -48.6946861306418$$
$$x_{2} = -70.6858347057703$$
$$x_{3} = 20.4203522483337$$
$$x_{4} = -20.4203522483337$$
$$x_{5} = -105.243353895258$$
$$x_{6} = 45.553093477052$$
$$x_{7} = -80.1106126665397$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = -54.9778714378214$$
$$x_{10} = -23.5619449019235$$
$$x_{11} = -7.85398163397448$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = -76.9690200129499$$
$$x_{14} = 26.7035375555132$$
$$x_{15} = 23.5619449019235$$
$$x_{16} = 14.1371669411541$$
$$x_{17} = -39.2699081698724$$
$$x_{18} = -83.2522053201295$$
$$x_{19} = -64.4026493985908$$
$$x_{20} = -29.845130209103$$
$$x_{21} = -1.5707963267949$$
$$x_{22} = 4.71238898038469$$
$$x_{23} = -45.553093477052$$
$$x_{24} = -14.1371669411541$$
$$x_{25} = 1.5707963267949$$
$$x_{26} = -4.71238898038469$$
$$x_{27} = 7.85398163397448$$
$$x_{28} = -67.5442420521806$$
$$x_{29} = -42.4115008234622$$
$$x_{30} = -51.8362787842316$$
$$x_{31} = -58.1194640914112$$
$$x_{32} = 17.2787595947439$$
$$x_{33} = -95.8185759344887$$
$$x_{34} = 10.9955742875643$$
$$x_{35} = 32.9867228626928$$
$$x_{36} = -61.261056745001$$
$$x_{37} = -98.9601685880785$$
$$x_{38} = 39.2699081698724$$
$$x_{39} = -89.5353906273091$$
$$x_{40} = -92.6769832808989$$
$$x_{41} = -73.8274273593601$$
$$x_{42} = -17.2787595947439$$
$$x_{43} = 29.845130209103$$
$$x_{44} = -26.7035375555132$$
$$x_{45} = -32.9867228626928$$
$$x_{46} = 36.1283155162826$$
$$x_{47} = 42.4115008234622$$
$$x_{48} = -86.3937979737193$$
значит надо решить уравнение:
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -48.6946861306418$$
$$x_{2} = -70.6858347057703$$
$$x_{3} = 20.4203522483337$$
$$x_{4} = -20.4203522483337$$
$$x_{5} = -105.243353895258$$
$$x_{6} = 45.553093477052$$
$$x_{7} = -80.1106126665397$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = -54.9778714378214$$
$$x_{10} = -23.5619449019235$$
$$x_{11} = -7.85398163397448$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = -76.9690200129499$$
$$x_{14} = 26.7035375555132$$
$$x_{15} = 23.5619449019235$$
$$x_{16} = 14.1371669411541$$
$$x_{17} = -39.2699081698724$$
$$x_{18} = -83.2522053201295$$
$$x_{19} = -64.4026493985908$$
$$x_{20} = -29.845130209103$$
$$x_{21} = -1.5707963267949$$
$$x_{22} = 4.71238898038469$$
$$x_{23} = -45.553093477052$$
$$x_{24} = -14.1371669411541$$
$$x_{25} = 1.5707963267949$$
$$x_{26} = -4.71238898038469$$
$$x_{27} = 7.85398163397448$$
$$x_{28} = -67.5442420521806$$
$$x_{29} = -42.4115008234622$$
$$x_{30} = -51.8362787842316$$
$$x_{31} = -58.1194640914112$$
$$x_{32} = 17.2787595947439$$
$$x_{33} = -95.8185759344887$$
$$x_{34} = 10.9955742875643$$
$$x_{35} = 32.9867228626928$$
$$x_{36} = -61.261056745001$$
$$x_{37} = -98.9601685880785$$
$$x_{38} = 39.2699081698724$$
$$x_{39} = -89.5353906273091$$
$$x_{40} = -92.6769832808989$$
$$x_{41} = -73.8274273593601$$
$$x_{42} = -17.2787595947439$$
$$x_{43} = 29.845130209103$$
$$x_{44} = -26.7035375555132$$
$$x_{45} = -32.9867228626928$$
$$x_{46} = 36.1283155162826$$
$$x_{47} = 42.4115008234622$$
$$x_{48} = -86.3937979737193$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2^{x} \sin{\left(x \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2^{x} \sin{\left(x \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:
/ _____________\
| / 2 |
/ _____________\ |-1 + \/ log (2) + 1 | / / _____________\\
| / 2 | 2*atan|---------------------| | | / 2 ||
|-1 + \/ log (2) + 1 | \ log(2) / | |-1 + \/ log (2) + 1 ||
(2*atan|---------------------|, 2 *cos|2*atan|---------------------||)
\ log(2) / \ \ log(2) // / _____________\
| / 2 |
/ _____________\ |1 + \/ log (2) + 1 | / / _____________\\
| / 2 | -2*atan|--------------------| | | / 2 ||
|1 + \/ log (2) + 1 | \ log(2) / | |1 + \/ log (2) + 1 ||
(-2*atan|--------------------|, 2 *cos|2*atan|--------------------||)
\ log(2) / \ \ log(2) // Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2^{x} \left(- 2 \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{- \log{\left(2 \right)} + 1} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{- \log{\left(2 \right)} + 1} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{- \log{\left(2 \right)} + 1} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2^{x} \left(- 2 \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{- \log{\left(2 \right)} + 1} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{- \log{\left(2 \right)} + 1} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{- \log{\left(2 \right)} + 1} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2^x*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = 2^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = - 2^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = 2^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = - 2^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График